Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La recta paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D\neq B$ y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E\neq C$. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en $Y\neq A$ y a la recta $PQ$ en $J$. La recta $PQ$ corta al circuncírculo del triángulo $BCJ$ en $Z\neq J$. Si las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, demuestra que $X$ pertenece a la recta $YZ$.

Determinar todos los polinomios $P(x)$ de grado $n\geq 1$ con coeficientes enteros tales que para todo número real $x$ se cumple \[P(x)=(x-P(0))(x-P(1))(x-P(2))\cdots(x-P(n-1)).\]

Determinar todos los enteros $n\geq 1$ que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB\gt BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ cortan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos distintos de $A$ sobre las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AB=BP$ y $AC=CQ$, y sea $K$ la intersección de las rectas $EP$ y $DQ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $\angle DKA = \angle EKM$.

Sea $n$ un entero positivo. Para una permutación $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de los números $1,2,\ldots,n$, definimos \[b_k=\min_{1\leq i\leq k}\{a_i\}+\max_{1\leq j\leq k}\{a_j\},\] para cada $k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Decimos que $a_1,\ldots,a_n$ es guadiana si la sucesión $b_1,\ldots,b_n$ no tiene dos elementos consecutivos iguales. ¿Cuántas permutaciones guadianas existen?