Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Supongamos que dos circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos $X$ e $Y$. Probar que existen cuatro puntos con la siguiente propiedad: cualquier circunferencia $\Gamma$ tangetne interior a las dos dadas en puntos $A$ y $B$ y que corta al segmento $XY$ en los puntos $C$ y $D$ es tal que cada una de las rectas $AC$, $AD$, $BC$ y $BD$ pasa por uno de los cuatro puntos.

Sean $b,m,n\in\mathbb{N}$ con $b>1$ y $m\neq n$. Probar que si $b^m-1$ y $b^n-1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $b+1$ es una potencia de $2$.

Sea $P$ un punto interior a un tetraedro regular $T$ de volumen uno. El tetraedro queda dividido en $14$ piezas por los cuatro planos que pasan por $P$ y son paralelos a cada una de sus caras. Si $\Omega$ es la unión de las piezas que no son tetraedros ni paralelepípedos, encontrar las cotas exactas entre las que se mueve el volumen de $\Omega$.

Dado $k\in\mathbb{N}$, demostrar que hay infinitos números $n\in\mathbb{N}$ para los que $n2^k-7$ es un cuadrado perfecto.

Probar que el conjunto $\mathbb{N}$ no puede ser dividido en tres subconjuntos disjuntos no vacíos tales que, para cualesquiera $x,y\in\mathbb{N}$ elegidos de dos subconjuntos distintos, el número $x^2-xy+y^2$ pertenezca al tercer subconjunto.