Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como la desigualdad es simétrica, podemos suponer que $x\geq y\geq z$ sin perder generalidad, de donde deducimos fácilmente que \[x^3\leq y^3\leq z^3,\qquad \frac{1}{(1+y)(1+z)}\leq \frac{1}{(1+x)(1+z)}\leq \frac{1}{(1+x)(1+y)}.\] De esta forma, podemos aplicar la desigualdad de Chebyshev, que nos asegura que \begin{eqnarray} \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}&\geq&\frac{(x^3+y^3+z^3)\left(\frac{1}{(1+y)(1+z)}+\frac{1}{(1+x)(1+z)}+\frac{1}{(1+x)(1+y)}\right)}{3}\\ &=&\frac{(x^3+y^3+z^3)(3+x+y+z)}{3(1+x)(1+y)(1+z)} \end{eqnarray} Las desigualdades entre las medias aritmética y cúbica y entre las medias aritmética y geométrica nos permiten acotar \begin{eqnarray} x^3+y^3+z^3&\geq&\frac{1}{9}(x+y+z)^3,\\ 3(1+x)(1+y)(1+z)&\leq&\frac{1}{9}(3+x+y+z)^3 \end{eqnarray} Con estas dos desigualdades podemos transformar la desigualdad previa en \[\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq\frac{(x+y+z)^3}{(3+x+y+z)^2}.\] Ahora bien, la función $f(a)=\frac{a^3}{(3+a)^2}$ es estrictamente creciente para $a\geq 0$. Como $x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}=3$, deducimos que $f(x+y+z)\geq f(3)=\frac{3}{4}$, de donde se deduce la desigualdad del enunciado.

Nota. Si la igualdad se alcanza, entonces del último razonamiento llegamos a que $x+y+z=3$, luego la igualdad en la desigualdad entre las medias nos asegura que $x=y=z=1$. Se comprueba que estos valores dan la igualdad y, por tanto, son los únicos.

Solución. Cualquier cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $3$. Por lo tanto, la ecuación solo es factible módulo $3$ si $a\equiv 0\ (\text{mod }3)$ y $b\equiv 0\ (\text{mod }3)$. Esto nos dice que podemos escribir $a=3x$ y $b=3y$ para ciertos $x,y\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo, llegamos a que $9x^2=18y^2+3c^2$, luego $c^2=3x^2-6y^2$ debe ser también múltiplo de $3$, es decir, existe $z\in\mathbb{Z}$ tal que $c=3z$ y llegamos a otra solución de la misma ecuación: $x^2=2y^2+3z^2$.

Vamos a ver que esto implica que $a=b=c=0$. En efecto, si alguno de los tres números $a,b,c\in\mathbb{Z}$ es no nulo, entonces podríamos haber comenzado suponiendo que la solución $(a,b,c)$ es tal que la suma $a^2+b^2+c^2\gt 0$ es lo más pequeña posible (de entre todas las soluciones no nulas habrá una que cumpla esto), pero entonces $(x,y,z)$ es una solución con \[x^2+y^2+z^2=\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)\lt a^2+b^2+c^2,\] en contradicción con el hecho de que $a^2+b^2+c^2$ es mínimo. Esto es lo que se llama técnica del descenso infinito o principio de minimalidad.