Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Basta darse cuenta de que, por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, se tiene que $1+x\geq2\sqrt x$, $1+y\geq2\sqrt y$ y $1+z\geq2\sqrt z$. Usando estas desigualdades, tenemos que \[(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8\sqrt{xyz}=8.\]

Nota. La desigualdad $1+x\geq2\sqrt x$ es equivalente a $(1-\sqrt{x})^2\geq 0$, luego igualdad se alcanza cuando $x=y=z=1$.

Solución. Como $n!>0$, podemos dividir la ecuación original entre $n!$ y obtenemos que \[\frac{(n!)!}{n!}=(2n-1)!\] La fracción de la izquierda es igual a $(n!-1)!$ luego obtenemos que \[(n!-1)!=(2n-1)!\] Podemos estar tentados de quitar los factoriales en ambos miembros, pero esto no es posible ya que $1!=0!$ y $1\neq 0$. Como éste es el único caso en que esto falla, podemos distinguir tres casos:

• Si $n!-1=1$ y $2n-1=0$, entonces $n=\frac{1}{2}$ no es un número natural.
• Si $n!-1=0$ y $2n-1=1$, entonces obtenemos la solución $n=1$.
• En cualquier otro caso, podemos eliminar los factoriales obteniendo $n!-1=2n-1$, es decir, $n!=2n$. Como $n=0$ no es solución, podemos dividir por $n$ y llegamos a que $(n-1)!=2$, es decir, $n=3$.

Hemos demostrado que las únicas soluciones a la ecuación original son $n=1$ y $n=3$.

Solución. En primer lugar, observamos que $p(-1)\neq 0$, luego los números $\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$, $\frac{1-\beta}{1+\beta}$ y $\frac{1-\gamma}{1+\gamma}$ están bien definidos. Consideremos el cambio de variable $y=\frac{1-x}{1+x}$, cuyo cambio inverso es él mismo, es decir, puede despejarse $x=\frac{1-y}{1+y}$. Por tanto, si consideramos \[p\left(\frac{1-y}{1+y}\right)=\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^3-3\left(\frac{1-y}{1+y}\right)+1=\frac{3y^3+9y^2-3y-1}{(1+y)^3},\] el miembro de la izquierda es igual a cero para $y=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$, $y=\frac{1-\beta}{1+\beta}$ o $y=\frac{1-\gamma}{1+\gamma}$. Esto quiere decir que el numerador $3y^3+9y^2-3y-1$ también debe ser cero para estos tres valores de $y$ y el polinomio que buscamos es $q(x)=3x^3+9x^2-3x-1$.

Nota. Otra técnica para resolver este problema es usar la ecuaciones de Cardano, pues el polinomio buscado $q(x)=x^3+bx^2+cx+d$ debe cumplir que \begin{eqnarray} b&=&-\frac{1-\alpha}{1+\alpha}-\frac{1-\beta}{1+\beta}-\frac{1-\gamma}{1+\gamma},\\ c&=&\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\cdot\frac{1-\beta}{1+\beta}+\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\cdot\frac{1-\gamma}{1+\gamma}+\frac{1-\beta}{1+\beta}\cdot\frac{1-\gamma}{1+\gamma},\\ d&=&\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\cdot\frac{1-\beta}{1+\beta}\cdot\frac{1-\gamma}{1+\gamma}. \end{eqnarray} Los miembros de la izquierda de estas tres relaciones pueden calcularse desarrollándolos y usando las propias ecuaciones de Cardano para el polinomio $p(x)$, es decir, usando que $\alpha+\beta+\gamma=0$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=-3$ y $\alpha\beta\gamma=-1$.

Solución. Los números $k$ tales que $E(\sqrt{k})=n$ son los comprendidos entre $n^2$ y $(n+1)^2-1$ (ambos incluidos), que hacen un total de $(n+1)^2-n^2=2n+1$ números (cantidad impar). Cuando sumamos $E(\sqrt{k})$ en todos estos números con signos alternados obtenemos una suma $\pm(n-n+n-n+\ldots +n)=\pm n$, donde el signo depende de que $n$ sea par (negativo) o impar (positivo). Por tanto, podemos agrupar la suma de la siguiente manera \begin{eqnarray} E(\sqrt{1})-E(\sqrt{2})+E(\sqrt{3})&=&1\\ -E(\sqrt{4})+E(\sqrt{5})+\ldots-E(\sqrt{8})&=&-2\\ E(\sqrt{9})-E(\sqrt{10})+\dots+E(\sqrt{15})&=&3\\ &\vdots&\\ E(\sqrt{1849})-E(\sqrt{1850})+\ldots+E(\sqrt{1935})&=&43\\ -E(\sqrt{1936})+E(\sqrt{1937})+\ldots-E(\sqrt{2015})&=&0. \end{eqnarray} Observemos que la última suma es cero ya que hay un número par de sumandos (iguales a $\pm 44$) que se cancelan dos a dos. Así, el valor de la suma original es \[1-2+3-4+\ldots-42+43=22.\]

Solución. Aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática, obtenemos que \[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{3}}{.}\] Ahora bien, podemos usar que $a+b+c=1$ y que \[ab+bc+ac=\frac{(a+b+c) ^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}\] para transformar la última expresión, obteniendo que \[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\leq 3\sqrt{\frac{3-(a^2+b^2+c^2)}{6}}{.}\] Usando de nuevo la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática deducimos que \[a^2+b^2+c^2\geq 3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=\frac{1}{3}{,}\] con lo que finalmente llegamos a que \[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\leq 3\sqrt{\frac{3-\frac{1}{3}}{6}}=2.\]

Nota. De la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática deducimos que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c=\frac{1}{3}$.