Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Manipulando la ecuación del enunciado no se llega a nada y tampoco se puede probar el resultado por inducción. Una técnica que puede resultar útil en algunos casos y que usaremos en este problema consiste en encontrar otra fórmula recursiva que cumpla la sucesión dada y que exprese un término como el resultado de operaciones enteras sobre términos anteriores. En nuestro caso concreto, probaremos que $a_{n+2}=2ca_{n+1}-a_n$ para todo $n$. Calculando algunos términos de $\{a_n\}$ se puede llegar a intuir esta fórmula, lo que facilita mucho las cosas, aunque a continuación veremos como obtenerla manipulando la ecuación inicial.

Pasando el término $ca_n$ al miembro de la izquierda y elevando al cuadrado llegamos a que

\[(a_{n+1}-ca_n)^2=(c^2-1)(a_n^2-4),\] y desarrollando el cuadrado y el producto, podemos simplificar esta igualdad como \[a_{n+1}^2-2ca_na_{n+1}+a_n^2=4(c^2-1).\] Para eliminar el término $4(c^2-1)$, que no depende de $n$, hacemos el siguiente truco: escribimos la misma igualdad para $n$ y $n+1$, es decir, \begin{eqnarray} a_{n+1}^2-2ca_na_{n+1}+a_n^2&=&4(c^2-1),\\ a_{n+2}^2-2ca_{n+1}a_{n+2}+a_{n+1}^2&=&4(c^2-1). \end{eqnarray} Restando la segunda a la primera, obtenemos \[a_{n+2}^2-a_n^2-2ca_{n+1}a_{n+2}+2ca_na_{n+1}=0,\] que se puede factorizar fácilmente como \[(a_{n+2}+a_n-2ca_{n+1})(a_{n+2}-a_n)=0.\] Ahora bien, si $c=1$, entonces la sucesión es constante igual a 2, luego supondremos $c\gt 1$, con lo que de la definición del enunciado se tiene que $a_{n+1}\gt a_n$ para todo $n$ y, en particular, $a_{n+2}-a_n\neq 0$ con lo que podemos simplificar la ecuación anterior para obtener que \[a_{n+2}=2ca_{n+1}-a_n{.}\] Como $a_1=2$ y $a_2=2c$ son números naturales, esta fórmula recursiva prueba que $a_n$ es entero para todo número natural $n$.

Nota. De hecho la recursión $a_{n+2}=2ca_{n+1}-a_n$ con condiciones iniciales $a_1=2$ y $a_2=2c$ se puede resolver para llegar a la siguiente fórmula explícita: \[a_n=\left(c+\sqrt{c^2-1}\right)^{n-1}+\left(c-\sqrt{c^2-1}\right)^{n-1}{.}\]

Solución. Consideremos la siguiente identidad \[3(25x+31y)-25(3x+7y)=-82y,\] que se obtiene al eliminar $x$ mediante una combinación de los dos binomios. Observemos que $-82y$ es múltiplo de 41, luego tenemos dos implicaciones:

• Si $25x+31y$ es múltiplo de 41 también lo será $25(3x+7y)$ y, como $25$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $3x+7y$.
• Si $3x+7y$ es múltiplo de 41, también lo será $3(25x+31y)$ y, como $3$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $25x+31y$.

Hemos demostrado que $25x+31y$ es múltiplo de 41 si, y sólo si, $3x+7y$ es múltiplo de 41, que es lo que se pide en el enunciado.

Nota. También se podría haber eliminado $y$ obteniendo la igualdad \[7(25x+31y)-31(3x+7y)=82x,\] y el razonamiento a partir de aquí es similar.

Solución. Que $p(x)$ tenga una raíz simple $\alpha$ y una doble $\beta$, nos dice que podemos escribir el polinomio como \[p(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)^2{.}\] Ahora tendremos que distinguir dos casos, dependiendo de que $\alpha=2$ ó $\beta=2$.

• Si $\alpha=2$, entonces desarrollamos \[p(x)=2(x-2)(x-\beta)^2=2x^3-4(\beta+1)x^2+2\beta(\beta+4)x-4\beta^2{.}\] Como el término independiente tiene que ser igual a $-16$, deducimos que $\beta^2=4$, es decir, $\beta=2$ ó $\beta=-2$. Obviamente $\beta=2$ tiene que descartarse ya que en tal caso $p(x)$ tendría una raíz triple, luego nos queda $\beta=-2$, en cuyo caso \[p(x)=2x^3-12x^2+24x-16,\] y por tanto $a=-12$ y $b=24$.
• Si $\beta=2$, entonces podemos desarrollar \[p(x)=2(x-\alpha)(x-2)^2=2x^3-2(\alpha+4)x^2+8(\alpha-1)x+8\alpha{,}\] y el término independiente nos dice en este caso que $\alpha=2$, luego tenemos una raíz triple y tenemos que descartar este caso.

Deducimos que los únicos valores que cumplen el enunciado son $a=-12$ y $b=24$.

Solución. Observemos que si $n$ tiene $k$ cifras, entonces $n\geq 10^k$ mientras que $s+u^2\leq 9k+9^2$ (este valor máximo se corresponde con que todos las cifras de $n$ sean iguales a 9). Esto nos dice que el miembro de la derecha será en general mucho menor que el de la izquierda luego las soluciones han de ser números pequeños. Vamos a intentar formalizar esta idea, estudiando el número de cifras de $n$ de menor a mayor:

• Si $n$ es de a lo sumo dos cifras, entonces podemos escribir $n=10a+b$ con $a$ y $b$ números enteros entre 0 y 9. Entonces, $s=a+b$ y $u=b$, de donde la ecuación es equivalente a $10a+b=a+b+b^2$, es decir, $9a=b^2$. Por tanto, $b$ tiene que ser múltiplo de $3$. Tenemos varios subcasos:
  • Si $b=0$, entonces $9a=b^2=0$, luego $a=0$ y $n=0$, que no es una solución válida ya que se pide que $n$ sea un entero positivo.
  • Si $b=3$, entonces $9a=b^2=9$, luego $a=1$ y $n=13$.
  • Si $b=6$, entonces $9a=b^2=36$, luego $a=4$ y $n=46$.
  • Si $b=9$, entonces $9a=b^2=81$, luego $a=9$ y $n=99$.
• Si $n$ es de 3 cifras, entonces $n=s+u^2\leq 3\cdot 9+9^2=108$, luego los únicos posibles números son $100, 101, 102,..., 108$ y es fácil ver que ninguno de ellos cumple la condición $n=s+u^2$.
• Si $n$ tiene 4 cifras, entonces $n\geq 1000$, mientras que $s+u^2\leq 4\cdot 9+9^2=117$. Esto nos lleva a que no existe solución en este caso. Ahora bien, cada cifra adicional de $n$ aumenta el mínimo de $n$ en un factor $10$ mientras que el máximo de $s+u^2$ aumenta sólo en 9 unidades. Claramente esto nos dice que $n\gt s+u^2$ si $n$ tiene más de 4 cifras.

En resumen, los únicos enteros positivos que cumplen la condición son 13, 46 y 99.

Solución. Observemos que, usando la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, tenemos que \[\frac{5}{3}=4^x-4^y=(2^2)^x-(2^2)^y=(2^x)^2-(2^y)^2=(2^x+2^y)(2^x-2^y)=2^x+2^y,\] con lo que el sistema original puede escribirse como \[\left\{\begin{array}{l}2^x-2^y=1,\\2^x+2^y=\frac{5}{3}{.}\end{array}\right.\] Sumando las dos ecuaciones llegamos a que $2^x=\frac{4}{3}$ y restándolas llegamos a que $2^y=\frac{1}{3}$, luego podemos despejar $x=\log_2(\frac{4}{3})$ e $y=\log_2(\frac{1}{3})$. De esta forma, \[x-y=\log_2\left(\frac{4}{3}\right)-\log_2\left(\frac{1}{3}\right)=\log_2\left(\frac{4/3}{1/3}\right)=\log_2(4)=2.\]