Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El enunciado nos dice que existen números naturales $a,b\gt 4$ y $c\gt 5$ tales que el número buscado $n$ se puede escribir de las siguientes tres formas: \begin{eqnarray*} n&=&(a-4)+\ldots+(a-1)+a+(a+1)+\ldots+(a+4)=9a,\\ n&=&(b-4)+\ldots+(b-1)+b+(b+1)+\ldots+(b+4)=10b+5,\\ n&=&(c-5)+\ldots+(c-1)+c+(c+1)+\ldots+(c+5)=11c. \end{eqnarray*} Esta forma de escribir los números consecutivos es ideal para simplificar los cálculos. Así, la primera y la tercera igualdad nos dicen que $n$ ha de ser múltiplo de 9 y de 11, respectivamente, mientras que la segunda nos dice que ha de ser múltiplo de 5 (pero no de 10). El menor número que cumple estas condiciones es obviamente $n=9\cdot 11\cdot 5=495$, que se obtiene para $a=55$, $b=49$ y $c=45$.

Solución. Si apretamos dos teclas, tenemos las siguientes posibilidades: \begin{eqnarray*} \text{roja}+\text{roja}:&&n\mapsto 2(2n-7)-7=4n-21,\\ \text{roja}+\text{amarilla}:&&n\mapsto 3(2n-7)-14=4n-35,\\ \text{amarilla}+\text{roja}:&&n\mapsto 2(3n-14)-7=4n-35,\\ \text{amarilla}+\text{amarilla}:&&n\mapsto 3(3n-14)-14=9n-56,\\ \end{eqnarray*} Lo primero que observamos es que las dos operaciones son conmutativas, es decir, da igual el orden en que apretemos las teclas, pero también vemos que todas las operaciones resultantes son siempre de la forma $n\mapsto an-7(a-1)$. Si componemos dos operaciones $n\mapsto an-7(a-1)$ y $n\mapsto bn-7(b-1)$ obtenemos la operación \[n\mapsto a(bn-7(b-1))-7(a-1)=abn-7(ab-1),\] que vuelve a ser del mismo tipo. Como consecuencia de todo esto, podemos decir que después de apretar $r$ veces la tecla roja y $s$ veces la tecla amarilla, partiendo del número $n$ llegaremos a $N=2^r3^sn-7(2^r3^s-1)$. Si $n=77$, la condición de enunciado nos dice que \[777777\lt N=77\cdot 2^r3^s-7(2^r3^s-1)=70\cdot 2^r3^s+7,\] es decir, tenemos que encontrar el menor valor de $2^r3^s$ que es mayor que $11111$. Notemos que $3^9=19683>11111$, luego, para cada $r$ entre 0 y 8, será suficiente encontrar el menor valor de $s$ tal que $2^r3^s$ supera $11111$.

• Para $r=8$, tenemos que $s=1$ y $2^1\cdot 3^8=13122$.
• Para $r=7$, tenemos que $s=3$ y $2^3\cdot 3^7=17496$.
• Para $r=6$, tenemos que $s=4$ y $2^4\cdot 3^6=11664$.
• Para $r=5$, tenemos que $s=6$ y $2^6\cdot 3^5=15552$.
• Para $r=4$, tenemos que $s=8$ y $2^8\cdot 3^4=20736$.
• Para $r=3$, tenemos que $s=9$ y $2^9\cdot 3^3=13824$.
• Para $r=2$, tenemos que $s=11$ y $2^{11}\cdot 3^2=18432$.
• Para $r=1$, tenemos que $s=12$ y $2^{12}\cdot 3^1=12288$.
• Para $r=0$, tenemos que $s=14$ y $2^{14}\cdot 3^0=16384$.

Por tanto, el mínimo se obtiene para $r=6$ y $s=4$. Deducimos que el valor buscado es $N=70\cdot 2^63^4+7=816487$.

Solución. La desigualdad del enunciado es equivalente a probar que \[a_0^3+4a_1^3-10a_2^3+4a_3^3+a_4^3\geq 0{.}\] Por la simetría del término de la izquierda, escribamos \[a_0=a-2d,\quad a_1=a-d,\quad a_2=a,\quad a_3=a+d,\quad a_4=a+2d.\] Sustituyendo y desarrollando los cubos tenemos que \[a_0^3+4a_1^3+4a_3^3+a_4^3-10a_2^3=(a-2d)^3+4(a-d)^3-10a^3+4(a+d)^3+(a+2d)^3=48ad^2{,}\] que evidentemente es positivo ya que $a=a_2\gt 0$ y $d\geq 0$.

Nota. La igualdad se alcanza si, y sólo si, $d=0$. La desigualdad sigue siendo cierta siempre que $a_2\geq 0$ (no es necesario que todos los términos sean positivos); de hecho, si $a_2\leq 0$, se obtiene una desigualdad en sentido contrario.

Solución. Los primeros términos de las sucesiones son \begin{eqnarray*} x_n:&\quad& 1,1,3,5,11,21,43,...\\ y_n:&\quad& 1,7,17,55,161,487,... \end{eqnarray*} Si calculamos los restos módulo 8, la sucesión queda \begin{eqnarray*} x_n\ (\text{mód}\ 8):&\quad& 1,1,3,5,3,5,3,5,...\\ y_n\ (\text{mód}\ 8):&\quad& 1,7,1,7,1,7,1,7,... \end{eqnarray*} Como cada resto sólo depende de los dos anteriores, en cuanto se repite una pareja de restos consecutivos, los demás restos se repiten periódicamente. Como el único resto que aparece en las dos sucesiones es el $1$, deducimos que cualquier número que aparezca en las dos tiene que ser congruente con $1$ módulo $8$, y a la vista de la primera sucesión sólo puede ser el propio $1$.

Solución. Demostraremos que $P(1)=0$, lo que nos dirá que $x-1$ es un factor de $P(x)$. La idea en este problema es apelar a la igualdad $(x-1)(1+x+x^2+x^3+x^4)=x^5-1$, que nos dice que $1+x+x^2+x^3+x^4$ tiene cuatro raíces complejas que son las raíces quintas de la unidad (salvo 1). En particular, las soluciones de $1+x+x^2+x^3+x^4$ se pueden expresar como $\{z,z^2,z^3,z^4\}$, siendo $z$ un número complejo distinto de 1 y tal que $z^5=1$.

Evaluando la igualdad del enunciado en $\{z,z^2,z^3,z^4\}$, obtenemos que \begin{eqnarray*} P(1)+zQ(1)+z^2R(1)&=&0,\\ P(1)+z^2Q(1)+z^4R(1)&=&0,\\ P(1)+z^3Q(1)+z^6R(1)&=&0,\\ P(1)+z^4Q(1)+z^8R(1)&=&0.\\ \end{eqnarray*} Esto puede verse como un sistema de cuatro ecuaciones lineales con tres incógnitas ($P(1)$, $Q(1)$ y $R(1)$). La matriz de coeficientes está dada por \[A=\left(\begin{matrix}1&z&z^2\\1&z^2&z^4\\1&z^3&z^6\\1&z^4&z^8\end{matrix}\right).\] Si eliminamos la última fila, el determinante de la matriz $3\times 3$ resultante es igual a $z^8-2z^7+2z^5-z^4$. Si usamos que $z^5=1$, podemos simplificarlo a $-z^4+z^3-2z^2+2$ y, usando que $z^4=-z^3-z^2-z-1$, podemos simplificarlo finalmente a $2z^3-z^2+z+3$. Si hacemos el mismo proceso eliminando la primera fila en lugar de la última, llegamos a que el determinante de la matriz $3\times 3$ resultante es $2z^3-z^2+z-2$. Evidentemente, los dos determinantes no pueden ser cero simultáneamente ya que se diferencian en 5 unidades, lo que nos dice que la matriz $A$ tiene rango 3 y, por tanto, el sistema de ecuaciones tiene como única solución la trivial $P(1)=Q(1)=R(1)=0$. Esto concluye la demostración.