Un conjunto $X$ de enteros positivos es ibérico si $X$ es un subconjunto de $\{2,3,4,\ldots,2018\}$ y, siempre que $m$ y $n$ pertenezcan a $X$, entonces $\mathrm{mcd}(m,n)$ pertenece también a $X$. Un conjunto ibérico es olímpico si no está contenido en ningún otro conjunto ibérico. Encontrar todos los conjuntos ibéricos olímpicos que contienen el número $33$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoEn un plano tenemos $n$ rectas sin que haya dos paralelas, ni dos perpendiculares, ni tres concurrentes. Se elige un sistema de ejes cartesianos con una de las $n$ rectas como eje de las abscisas. Un punto $P$ se sitúa en el origen de coordenadas del sistema elegido y comienza a moverse a velocidad constante por la parte positiva del eje de las abscisas. Cada vez que $P$ llega a la intersección de dos rectas, sigue por la recta recién alcanzada en el sentido que permite que el valor de la abscisa de $P$ sea siempre creciente. Demostrar que se puede elegir el sistema de ejes cartesianos de modo que $P$ pase por puntos de las $n$ rectas.
Sin pistas
Sin soluciones
infoPara cada número natural $n\geq 2$, hallar las soluciones enteras del siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}{l}
x_1&=(x_2+x_3+x_4+\ldots+x_n)^{2018},\\
x_2&=(x_1+x_3+x_4+\ldots+x_n)^{2018},\\
&\ \,\vdots\\
x_n&=(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{n-1})^{2018}.
\end{array}\right.\]
pistasolución 1info
Pista. Demuestra que todos los números son $0$ o $1$. ¡Los miembros de la derecha crecen mucho si hubiera números grandes!
Solución. Comenzamos observando que ningún número puede ser negativo ya que todos son iguales a potencias de exponente par. Si hubiera algún $x_i$ igual a cero, entonces el resto debe tener suma cero y, como todos son mayores o iguales que cero, deben ser todos cero. Si hubiera algún $x_i$ mayor que $1$, supongamos sin perder generalidad que $x_1\gt 2$ es el mayor de todos los números, luego $x_2=(x_1+x_3+\ldots+x_n)^{2018}\geq x_1^{2018}\gt x_1$, contradiciendo que $x_1$ es el máximo. Todo esto nos dice que podemos suponer que todos los $x_i$ son iguales a $1$; si $n\geq 3$, entonces los miembros de la derecha serían mayores o iguales que $2^{2018}$, caso que hemos descartado. Nos quedan así sólo dos casos posibles, que se comprueba fácilmente que verifican las ecuaciones:
- $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$ para todo $n\geq 2$;
- $x_1=x_2=1$ para $n=2$.