Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos en primer lugar que $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-k}{2k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right).$$ Este truco nos permite expresar la suma del enunciado como una serie telescópica en la que cada dos sumandos consecutivos cancelan un término: \begin{eqnarray} 2S_n&=&\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}\right)+\left(\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}\right)+\left(\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}\right)+\ldots\\ &&\ldots+\left(\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\right)+\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right). \end{eqnarray} Simplificando los términos que aparecen sumando y restando, llegamos a la expresión $$S_n=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$ Si ahora tomamos $n=2015$, obtenemos que $$S_{2015}=\frac{2015\cdot 2018}{4\cdot 2016\cdot 2017}=\frac{2015\cdot 1009}{2\cdot 2016\cdot 2017}.$$ Sin necesidad de factorizar completamente los números anteriores, observamos que el único factores primos comunes posibles de entre numerador y denominador es el $2$ (son cuatro números consecutivos). Como $2016$ es par y el numerador $2015\cdot 1009$ es impar, deducimos que la fracción dada anteriormente es irreducible.

Nota. Una suma $S=a_1+a_2+\ldots+a_n$ es telescópica cuando podemos encontrar una sucesión $b_1,\ldots,b_{n+1}$ de forma que $a_k=b_{k+1}-b_k$, de forma que $S=b_{n+1}-b_1$. En realidad, todas las sumas son telescópicas con esta definición, pero en la práctica se habla de suma telescópica sólo cuando la sucesión $b_n$ tiene una expresión sencilla.

Solución. Vamos a desarrollar en primer lugar el primer paréntesis: \begin{eqnarray*} \frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}&=&\frac{yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)}{xyz}\\ &=&\frac{yz(y-z)-(y+z)z(y+2z)-(y+z)y(-2y-z)}{xyz}\\ &=&\frac{yz(y-z)+2(y+z)(y^2-z^2)}{xyz}\\ &=&\frac{(y-z)(2y^2+5yz+2z^2)}{xyz}\\ &=&\frac{(y-z)(2y+z)(y+2z)}{xyz}\\ &=&\frac{-(y-z)(x-y)(z-x)}{xyz}. \end{eqnarray*} Lo que hemos hecho no es otra cosa que sustituir $x=-y-z$ en el numerado y luego factorizar el polinomio en las variables $y$ y $z$ resultante. Ahora hacemos lo mismo con el segundo paréntesis (observa que en denominador obtenido arriba cuadra con el denominador de desarrollar el producto, lo que nos indica que vamos por el buen camino): $$\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=\frac{x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)}{(y-z)(z-x)(x-y)}$$ Queremos probar que el numerador anterior es igual a $-9xyz$, luego intentaremos sacar factor común $x$ y ver que el factor restante es igual a $-9yz$ sustituyendo $x=-y-z$ y operando con $y$ y $z$. Con esto en mente, tenemos que \begin{eqnarray*} \frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}&=&\frac{x(z-x)(x-y)+(y-z)(y(x-y)+z(z-x)))}{(y-z)(z-x)(x-y)}\\ &=&\frac{x(z-x)(x-y)-(y-z)((x+z)(x-y)+(x+y)(z-x))}{(y-z)(z-x)(x-y)}\\ &=&\frac{x(z-x)(x-y)-(y-z)(2xz-2xy)}{(y-z)(z-x)(x-y)}\\ &=&x \frac{(z-x)(x-y)+2(y-z)^2}{(y-z)(z-x)(x-y)}\\ &=&x \frac{-(y+2z)(2y+z)+2(y-z)^2}{(y-z)(z-x)(x-y)}=\frac{-9xyz}{(y-z)(z-x)(x-y)}{.}\\ \end{eqnarray*}

Solución. Después de pensar un poco, vemos que la peor situación posible es que los 120 que no saben francés sí sepan inglés y los 50 que no saben inglés sí sepan francés, lo que descuenta un total de $120+50=170$ personas que no saben alguno de los dos idiomas. Si los 110 que no saben español se encuentran entre las 330 personas que saben inglés y francés, volvemos a llegar a la peor situación posible, es decir, que $120+50+110=280$ desconozca alguno de estos tres idiomas. Razonando de la misma forma con el alemán (que no lo hablan 210 de los líderes), llegamos a que la peor situación es que $120+50+110+210=490$ diplomáticos desconozcan alguno de los cuatro idiomas, por lo que sólo podemos asegurar que 10 de ellos conocen los cuatro.

Nota. En realidad, es irrelevante si exactamente 450 personas hablan inglés, 380 francés, etc., es decir, pudiera ser que lo hablaran más personas de las indicadas. Nosotros sólo sabemos al menos esos lo hablan. La conclusión sigue siendo que, con esa información, lo más que podemos asegurar es que hay 10 que hablan los cuatro idiomas.

Solución. Supongamos que $P(x)$ es un polinomio que cumple la condición del enunciado y consideremos el polinomio auxiliar \[Q(x)=P(2x)-2P(x)-2x^2{.}\] El enunciado puede reescribirse como $Q(P(x))=0$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Si $P(x)$ es constante, entonces del enunciado se deduce directamente que $a=0$ ó $a=\frac{-1}{2}$. Si $P(x)$ no es constante, entonces toma infinitos valores distintos y la ecuación $Q(P(x))=0$ nos asegura que $Q$ tienen infinitos ceros, lo que implica que $Q(x)=0$ para todo $x$, es decir, $P(2x)=2P(x)+2x^2$ para todo $x$.

Escribiendo $P(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ y sustituyendo en $P(2x)=2P(x)+2x^2$, es fácil ver que si $n>2$, el coeficiente líder del miembro de la izquierda es mayor que el del de la derecha. También si $n=1$, entonces el miembro de la derecha tiene grado 2 y el de la izquierda grado 1, cosa que tampoco puede ocurrir, luego $n=2$. En tal caso, se tiene que $P(2x)=2P(x)+2x^2$ es equivalente a $(2a_2-2)x^2-a_0=0$ para todo $x\in\mathbb{R}$, de donde ha de ser $a_2=1$ y $a_0=0$, lo que nos lleva a polinomios de la forma $x^2+ax$. Por lo tanto, las soluciones son $P(x)=0$, $P(x)=\frac{-1}{2}$ y $P(x)=x^2+ax$ para cualquier $a\in\mathbb{R}$.

Solución. Observemos en primer lugar que \[\frac{(x^2+x)+(x^3+2x)}{(x^2+x)+3}=\frac{x^3+x^2+3x}{x^2+x+3}=x,\] luego si $x^2+x$ y $x^3+2x$ son racionales, también lo será $x$ (a menos que sea $x^2+x+3=0$, pero este polinomio no tiene raíces racionales).

Para responder al segundo apartado, vamos a intentar hacer el mismo truco, expresando \[\frac{(w^2+w)+(w^3-2w)}{(w^2+w)+1}=\frac{w^3+w^2+w}{w^2+w+1}=w,\] igualdad que nos diría también que si $w^2+w$ y $w^3-2w$ son racionales, también lo es $w$. Igual que en el caso anterior, esto es cierto a menos que $w^2+w+1=0$, lo que nos lleva a que $w=\frac{-1}{2}(1\pm\sqrt{5})$ luego éstos son los únicos posibles números que cumplen el apartado (b). Comprobamos que \[w=\frac{-1}{2}(1\pm\sqrt{5})\quad\Rightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} w^2+w=\frac{1}{4}(1\pm\sqrt{5})^2-\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{5})=-1\\ w^3-2w=\frac{-1}{8}(1\pm\sqrt{5})^3+(1\pm\sqrt{5})=-1, \end{array} \right.\] luego estos dos valores de $w$ son los únicos que lo cumplen.