Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribamos $p=a+c+u$ y $q=b+d+v$ para ciertos enteros $u$ y $v$. La desigualdad $\frac{a}{b}\gt\frac{p}{q}=\frac{a+c+u}{b+d+v}$ nos dice que $ab+ad+av\gt ab+bc+bu=ab+ad-1+bu$. Simplificando, llegamos a que $av\gt bu-1$ y, como estamos trabajando con enteros, tenemos que $av\geq bu$. De la misma forma, usando la desigualdad $\frac{p}{q}\gt\frac{c}{d}$ del enunciado se llega a que $du\geq cv$. Despejando $u$ en estas desigualdades (ya que $b$ y $d$ son positivos) tenemos finalmente que \[\frac{a}{b}v\geq u\geq\frac{c}{d} v.\] En primer lugar, observamos que si $v<0$ (es decir, $q\lt b+d$) entonces llegamos a una contradicción ya que $\frac{a}{b}v<\frac{c}{d}v$ y las desigualdades anteriores no se satisfacen para ningún entero $u$. Por tanto, $v\geq 0$ y tenemos probado el apartado (a).

Finalmente, si $q=b+d$, entonces $v=0$, luego las desigualdades arriba probadas nos dicen que $0\geq u\geq 0$ y, por tanto, $u=0$ y $p=a+c$, demostrando así el apartado (b).

Solución. Transformamos el primer denominador usando la desigualdad de reordenación primero y después la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática, obteniendo \[(by+cz)(bz+cy)\leq(by+cz)^2\leq 2(b^2y^2+c^2z^2).\] Observemos que aquí es importante que $b\geq c$ e $y\geq z$. De la misma forma, podemos acotar los otros dos denominadores como \begin{eqnarray*} (cz+ax)(cx+az)&\leq&2(a^2x^2+c^2z^2),\\ (ax+by)(ay+bx)&\leq&2(a^2x^2+b^2y^2). \end{eqnarray*} Si llamamos $E$ al miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado, las desigualdades que hemos probado nos aseguran que \[E\geq\frac{1}{2}\left(\frac{a^2x^2}{b^2y^2+c^2z^2}+\frac{b^2y^2}{a^2x^2+c^2z^2}+\frac{c^2z^2}{a^2x^2+b^2y^2}\right),\] pero el término entre paréntesis es mayor o igual que $\frac{3}{2}$ por la desigualdad de Nesbitt y hemos terminado. Para analizar la igualdad, si esta se alcanza la desigualdad de Nesbitt o la desigualdad entre las medias que hemos usado nos aseguran que $ax=by=cz$. Como los términos están ordenados, para que se den estas igualdades ha de ser $a=b=c$ y $x=y=z$ (esto último también puede deducirse de la desigualdad de reordenación). De aquí es fácil ver que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c$ y $x=y=z$.

Solución. Vamos a probar que la respuesta es afirmativa. Para ello, observamos que el problema es equivalente a determinar si existen $n,a\in\mathbb{N_0}$ tales que $3n^2+2n+2=a^2$. Trabajando módulo 8, todo cuadrado perfecto es congruente con $0$, con $1$ ó con $4$, para lo que será suficiente comprobar que $3n^2+2n+2$ no es congruente con ninguno de estos tres números módulo $8$. Usando las propiedades de las congruencias, tenemos que

• Si $n\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 4\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 5\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 6\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$.

Por tanto, $3n^2+2n+2$ no es congruente con $0$, $1$ ó $4$ para ningún valor de $n\in\mathbb{Z}$ y hemos terminado.

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (o simplemente desarrollar $(1-a)^2\geq 0$) nos asegura que $1+a^2\geq 2a$ y, análogamente, $1+b^2\geq 2b$ y $1+c^2\geq 2c$, lo que nos permite escribir $$a^2(1+b^2)^2+b^2(1+c^2)^2+c^2(1+a^2)^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$$ Usando finalmente la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, así como el hecho de que $abc=1$, llegamos a que \[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=3.\] Combinando las dos igualdades anteriores se llega al resultado buscado. Observemos que para que se dé la igualdad, ha de cumplirse que $(1-a)^2=0$, $(1-b)^2=0$ y $(1-c)^2=0$, de donde vemos fácilmente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c=1$.

Solución. Tomando logaritmos neperianos y usando las propiedades de los logaritmos, la desigualdad del enunciado es equivalente a la siguiente: $$(b+c)\ln(a)+(a+c)\ln(b)+(a+b)\ln(c)\geq 2a\ln(a)+2b\ln(b)+2c\ln(c).$$ Esta desigualdad involucra tanto a los números como a sus logaritmos, pero están bien separados como sumas de productos, lo que nos incita a intentar usar la desigualdad de reordenación. Concretamente, si suponemos sin perder generalidad que $0\lt a\leq b\leq c$, tendremos que $\ln(a)\leq\ln(b)\leq\ln(c)$ ya que el logaritmo es una función creciente. Así, la desigualdad de reordenación nos dice que \begin{eqnarray*} b\ln(a)+c\ln(b)+a\ln(c)&\geq& a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)\\ c\ln(a)+a\ln(b)+b\ln(c)&\geq& a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c) \end{eqnarray*} Sumando estas dos desigualdades obtenemos la del enunciado.