Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{x}{1+x}$, definida para todo $x\gt-1$. Es fácil comprobar que su segunda derivada satisface $$f''(x)=\frac{-2}{(x+1)^3}<0\quad\text{para todo }x\gt -1,$$ lo que nos dice que $f$ es cóncava en este intervalo. Ahora bien, la desigualdad de Jensen aplicada a esta función en los puntos $a$ y $b$ nos asegura que $$\frac{a+b}{2+a+b}=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\right),$$ de donde se deduce la desigualdad que queremos probar. Como la función es estrictamente convexa, la igualdad en la desigualdad de Jensen sólo puede alcanzarse cuando $a=b$ y, por tanto, la igualdad en la desigualdad del enunciado es cierta si, y sólo si, $a=b$.

Solución. Poniendo denominador común y operando, obtenemos que $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{2(a+b)}{2+a+b}=\frac{-(a-b)^2}{(1+a)(1+b)(2+a+b)}\leq 0,$$ (observemos que los denominadores son positivos ya que $a\gt-1$ y $b\gt -1$), de donde se deduce la desigualdad del enunciado.

Solución. Operando con la desigualdad es fácil llegar a que $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b}=\frac{a b (a+b+2)}{(1+a) (1+b) (1+a+b)}{.}$$ Como esta última cantidad es mayor o igual que $0$, la desigualdad del enunciado se deduce fácilmente. Además, como $2+a+b\geq 2\gt 0$, vemos que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=0$ ó $b=0$.

Solución. Efectivamente, el primer jugador comienza eligiendo $a_0=1$ (lo que restringe las posibles raíces enteras del polinomio a $\pm 1$) y después no importa lo que vayan poniendo hasta la penúltima jugada, en que el primer jugador pone de forma que todos los coeficientes del polinomio puestos hasta entonces sumen $0$ (incluído el de $x^{2014}$) y ya no importa lo que ponga el segundo jugador (es suya la última jugada ya que hay un número par de coeficientes) ya que no puede poner un $0$. Así, la suma final de todos los coeficientes será no nula y, por tanto, $1$ no será raíz del polinomio. De esta forma, $-1$ es la única posible raíz del polinomio y ha ganado el primer jugador.

Solución. Podemos suponer que $a>b$ y quitar el valor absoluto. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que $a-b\lt\sqrt{4n-3}$, de donde deducimos que $$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab\lt 4n-3+4(1+n^2)=(2n+1)^2$$ Ya que todos estos números son positivos, deducimos que $a+b\lt 2n+1$, esto es, $a+b\leq 2n$. Usando entonces la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica deducimos que $$1+n^2=ab\lt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{4n^2}{4}=n^2{,}$$ lo cual es una contradicción.

Supongamos ahora que se da la igualdad, con lo que tenemos dos igualdades para trabajar: $ab=1+n^2$ y $(a-b)^2=4n-3$. Entonces, $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=(2n+1)^2$, luego $a+b=2n+1$. Por otro lado, tenemos que $4n-3$ tiene que ser un cuadrado impar, pongamos $(2m+1)^2$ para cierto entero $m$, de donde $n=m^2+m+1$. Finalmente, de las ecuaciones $a+b=2n+1$ y $a-b=\sqrt{4n-3}$, despejamos $a$ y $b$ en función de $m$. Tenemos así que \begin{eqnarray*} n&=&m^2+m+1\\ a&=&m^2+2m+2\\ b&=&m^2+1 \end{eqnarray*} para cierto entero $m\geq 0$. Como estas soluciones cumplen la igualdad para todo $m$, deducimos que son las únicas.

Solución. Haciendo $n=1$, tenemos que los tres números $f(1)$, $f(f(1))$ y $f(f(f(1)))$ suman 3. Como son números mayores o igules que $1$, deducimos que los tres tienen que ser $1$ y, en particular, $f(1)=1$. Si existiera $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $f(n_0)=1$, sustituyendo $n=n_0$ en la ecuación llegamos que $n_0=1$, luego 1 es el único valor que toma el valor $1$. Sustituyendo ahora $n=2$ en la ecuación obtenemos que los números $f(2)$, $f(f(2))$ y $f(f(f(2)))$ suman $6$, pero todos son mayores o iguales que $2$ por lo que hemos probado antes, luego han de ser iguales a $2$ y tenemos que $f(2)=2$. Repitiendo el proceso o haciendo inducción llegamos a que $f(n)=n$ para todo $n$.

Nota. Otra forma de proceder es ver directamente que $f$ es inyectiva: si $f(m)=f(n)$, entonces \[f(m)+f(f(m))+f(f(f(m)))=f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))\] y, por tanto, $m=n$.