Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Dado $k\geq 1$, consideremos el círculo de centro $P_k$ y radio $\frac{x_k}{2}$. La intersección de dos cualesquiera de estos círculos es vacía ya que $x_k$ se define como la distancia de $P_k$ al punto más cercano y hemos tomado círculos de radio menor que la mitad. Además, todos los círculos construidos están contenidos en el círculo de centro $P_1$ y radio $\frac{3}{2}$ ya que $x_k$ es menor o igual que la distancia de $P_k$ a $P_1$ que es igual a uno, luego $\frac{x_k}{2}\leq\frac{1}{2}$.

De todo esto deducimos, que la suma de las áreas de los $1996$ círculos es menor o igual que el área del círculo de radio $\frac{3}{2}$. Así, obtenemos que \[\frac{\pi}{4}x_1^2+\frac{\pi}{4}x_2^2+\ldots+\frac{\pi}{4}x_{1997}^2\leq\frac{9\pi}{4}{.}\] Simplificando obtenemos la desigualdad del enunciado.

Solución. Consideremos la función $g(x)=\frac{1}{1-x}$, que cumple que \begin{eqnarray*} g(g(x))&=&\frac{1}{1-\frac{1}{x-1}}=\frac{x-1}{x},\\ g(g(g(x)))&=&\frac{\frac{1}{1-x}-1}{\frac{1}{1-x}}=x. \end{eqnarray*} La ecuación inicial se escribe como $f(x)+f(g(x))=x$. Sustituyendo $x$ por $g(x)$, llegamos a que \[f(g(x))+f(g(g(x)))=g(x)=\frac{1}{1-x}.\] Volviendo a sustituir en esta última ecuación $x$ por $g(x)$, obtenemos \[f(g(g(x)))+f(x)=g(g(x))=\frac{x-1}{x}.\] Así, estas dos últimas ecuaciones junto con la ecuación inicial nos permiten formar el sistema de tres ecuaciones lineales con incógnitas $f(x)$, $f(g(x))$ y $f(g(g(x)))$ siguiente: \begin{eqnarray*} f(x)+f(g(x))&=&x\\ f(g(x))+f(g(g(x)))&=&\frac{1}{1-x}\\ f(g(g(x)))+f(x)&=&\frac{x-1}{x} \end{eqnarray*} que puede resolverse (nos interesa sólo el valor de $f(x)$) dando lugar a \[f(x)=\frac{x^3-x+1}{2 (x-1) x}{.}\] Ahora es fácil comprobar que esta función cumple los requisitos, luego es la única.

Solución. Para llegar a la solución se necesita mayormente destreza en manipulación trigonométrica. En primer lugar, usando la identidad de factorización \[\sin x+\sin y=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right),\] podemos transformar \begin{eqnarray*} \sin 18+\sin 54&=&2\sin 36\cos 18\\ \sin 42+\sin 78&=&2\sin 60\cos 18, \end{eqnarray*} lo que, junto con la fórmula del ángulo doble $\sin36=2\sin 18\cos 18$ nos permite reescribir la expresión del enunciado como \[\frac{2\sin 18\cos 18}{2\sin 36\cos 18+2\sin 60\cos 18}=\frac{\sin18}{\sin36+\sin 60}=\frac{\sin18}{2\sin48\cos12}.\] Si probamos que $\sin18=2\sin12\sin48$, habremos terminado. Ahora la clave está en expresarlo todo en términos de un solo ángulo. Usando la fórmula del seno de la suma y la diferencia, podemos desarrollar \begin{eqnarray*} \sin12\sin48&=&\sin(30-18)\sin(30+18)\\ &=&\sin^2 30\,\cos^2 18-\sin^2 18\,\cos^2 30=\frac{1}{4}-\sin^2 18, \end{eqnarray*} donde también hemos usado que $\sin^2 30=\frac{1}{4}$ y $\cos^2 30=\frac{3}{4}$. Así, la igualdad $\sin18=2\sin12\sin48$ es equivalente a $4\sin^2 18+2\sin18-1=0$. Por tanto, $\sin 18$ ha de ser la única solución positiva de la ecuación de segundo grado $4x^2+2x-1=0$, es decir, tendremos que probar que \[\sin18=\frac{\sqrt{5}-1}{4}{,}\] El ángulo de $18$ grados está relacionado con un pentágono regular. Si en un pentágono regular tomamos un vértice y los dos vértices del lado opuesto, éstos forman un triángulo isósceles de ángulos $36$, $72$ y $72$, cuyos lados iguales tienen la longitud $d$ de la diagonal del pentágono y el lado desigual tiene la longitud $\ell$ del lado del pentágno. De aquí deducimos que $\sin 18=\frac{\ell}{2 d}$. Como $\frac{d}{\ell}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la razón áurea (¿por qué?), deducimos que \[\sin 18=\frac{\ell}{2 d}=\frac{2}{2(1+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}-1}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{5}-1}{4},\] lo que concluye la demostración.

Solución. El número de casos posibles es $2^{12}$ pues cada una de las doce monedas tiene dos opciones. El número de casos favorables es el mismo que el número de formas de elegir tres monedas entre las doce, es decir, las combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3. Por tanto, como cada caso es equiprobable, la probabilidad buscada es el cociente entre casos favorables y casos posibles, esto es, \[\frac{\binom{12}{3}}{2^{12}}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 2^{12}}=\frac{55}{1024}{.}\]

Solución. Basta darse cuenta de que \[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}{,}\] luego tomando $a=n$, $b=n(n+1)$ y $c=n+1$, tenemos una solución para cada número natural $n$. Hemos demostrado así que hay infinitas soluciones.