Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Tenemos piezas cuadradas de tamaño $1\times 1$ en las que podemos pintar cada borde de color $A$, $B$, $C$ o $D$, no repitiéndose colores en cada pieza. Formamos un rectángulo $n\times m$ pegando $mn$ tales piezas cuadradas con la condición de que los bordes que se pegan han de ser del mismo color. ¿Para qué números $n$ y $m$ es esto posible?

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que \[f(x+f(y))=y f(xy+1)\] para todo $x,y\gt 0$.

Sean $a$ y $b$ dos números positivos primos entre sí. Se dice que un entero positivo $n$ es débil si no puede ser escrito en la forma $n=ax+by$ para algunos enteros $x$ e $y$ no negativos. Probar que si $n\lt\frac{ab}{6}$ es débil, entonces existe un entero $k\geq 2$ tal que $kn$ también es débil.

Los puntos de una superficie esférica de radio $4$ se pintan con cuatro colores distintos. Probar que existen dos puntos sobre la superficie que tienen el mismo color y que están a distancia $4\sqrt{3}$ o bien a distancia $2\sqrt{6}$.

Nota. La distancia entre dos puntos de la esfera es la longitud del segmento rectilíneo que los une en el espacio.

Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ y sea $M$ un punto arbitrario del lado $AB$. La circunferencia circunscrita del triángulo $AMO$ interseca a la recta $AC$ en $A$ y en $K$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $BOM$ interseca a la recta $BC$ en $B$ y en $N$. Demostrar que \[\text{Área}(MNK)\geq\tfrac{1}{4}\text{Área}(ABC)\] y determinar el caso en que se alcanza la igualdad.