Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El truco de este problema es acotar $\frac{1}{a}\geq\frac{1}{2^r}$ donde $2^r$ la menor potencia de $2$ que es mayor o igual que $a$. En otras palabras, tenemos que \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}&\geq&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}&\geq&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}&\geq&\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\\ &\vdots& \end{eqnarray*} Así, tenemos que el miembro de la izquierda del enunciado es mayor o igual que \[1+\frac{1}{2}+\stackrel{(n)}{\ldots}+\frac{1}{2}=1+\frac{n}{2}{.}\]

Solución. Si llamamos $r$ y $s$ a las raíces de $x^2+ax+bc$ y llamamos $r$ y $t$ a las de $x^2+bx+ac$, obtenemos que $rs=bc$ y $rt=ac$. Dividiendo una ecuación entre la otra y como los números $a,b,c,r,s,t$ son todos no nulos (¿por qué?), llegamos a que $as-bt=0$. Por otro lado, tenemos que $r+s=-a$ y $r+t=-b$. Restando estas dos ecuaciones obtenemos que $s-t=b-a$. El sistema de ecuaciones lineales \[\left.\begin{array}{c} as-bt=0\\ s-t=b-a \end{array}\right\}\] con incógnitas $s$ y $t$ tiene una única solución ya que $a\neq b$ y ésta es $s=b$ y $t=a$, de donde $r=c$ y $a+b+c=a+(r+s)=a-a=0$. Por tanto, \[(x-s)(x-t)=x^2-(s+t)x+st=x^2+cx+ab,\] y hemos resuelto el problema.

Solución. Observemos en primer lugar que \[\frac{a^n+a^{-n}-2}{a+a^{-1}-2}=\frac{(a^n-1)^2}{a^{n-1}(a-1)^2}.\] Por tanto, la desigualdad a probar es equivalente a \[n\lt \frac{a^n-1}{a^{(n-1)/2}(a-1)}=\frac{1}{a^{(n-1)/2}}(1+a+a+\ldots+a^{n-1}),\] donde hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. No es demasiado fácil darse cuenta de esta forma de escribirlo, pero es necesario reconocer la fracción $(a^n-1)/(a-1)$ en cualquier contexto. Por tanto, tenemos que probar que \[n\lt a^{(1-n)/2}+a^{(3-n)/2}+a^{(5-n)/2}+\ldots+a^{(n-3)/2}+a^{(n-1)/2}.\] Ahora bien, el producto de todos los sumandos del miembro de la derecha es igual a $1$ (¿por qué?), luego la desigualdad es consecuencia de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Notemos que no se puede dar la igualdad ya que, en tal caso, todos estos sumando habrían de ser iguales, con lo que $a=1$, pero el enunciado descarta este caso.

Solución. Pensemos en qué tiene que ocurrir para que el polinomio $P(x)$ sea simétrico respecto del origen. Tiene que ocurrir que sea una función impar, es decir, $P(-x)=-P(x)$. Si desarrollamos $P(-x)$ y lo igualamos con $-P(x)$ llegamos a que todos los coeficientes de términos de exponente par han de anularse luego $P(x)$ sólo tiene términos de exponente impar y $P(0)=0$, luego podemos expresar $P(x)=xQ(x^2)$ para cierto polinomio $Q(x)$. Esto nos dice que si la gráfica de $P$ es simétrica respecto del origen, entonces $P(x)=xQ(x^2)$ para cierto polinomio $Q(x)$, pero el recíproco también es cierto ya que los polinomios de la forma $P(x)=xQ(x^2)$ son funciones impares y, por tanto, sus gráficas son simétricas respecto del origen.

Hemos probado ya el enunciado para $(a,b)=(0,0)$. Para un $(a,b)$ cualquiera, la gráfica de $P$ es simétrica respecto de $(a,b)$ si, y sólo si, la gráfica de $R(x)=P(x+a)-b$ es simétrica respecto del origen (hemos hecho una traslación del punto $(a,b)$ al origen). Por lo que hemos probado antes, esto ocurre si, y sólo si, $R(x)=xQ(x)$ para cierto polinomio $Q(x)$. Deshaciendo el cambio, la gráfica de $P$ es simétrica respecto de $(a,b)$ si, y sólo si, $P(x)=R(x-a)+b=(x-a)Q\bigl((x-a)^2\bigr)+b$ para cierto polinomio $Q(x)$.

Nota. Este es un ejercicio muy mecánico. Las ideas fundamentales que se desprenden de la solución y que hay que aprender son: (1) que la gráfica de una función es simétrica respecto del origen si, y sólo si, es una función impar; y (2) que la gráfica de $f(x+a)-b$ es la misma que la gráfica de $f(x)$ después de aplicarle una traslación que lleva $(a,b)$ al $(0,0)$.

Solución. Como $ABCD$ admite circunferencia inscrita, tenemos que los pares de lados opuestos suman lo mismo, luego podemos expresar $AB=2$, $BC=1+y$, $CD=x+y$, $DA=1+x$ para ciertos $x,y\in\mathbb{R}$. Además, como los triángulos $ACB$ y $ADB$ son rectángulos por ser $AD$ un diámetro de la circunferencia circunscrita, el teorema de Pitágoras nos dice que \[AC=\sqrt{4-(1+y)^2},\qquad BD=\sqrt{4-(1+x)^2}.\] Como $ABCD$ admite circunferencia circunscrita, podemos aplicar el teorema de Ptolomeo y obtenemos que $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$. En términos de $x$ e $y$ podemos escribir \[2(x+y)+(1+x)(1+y)=\sqrt{\bigl(4-(1+x)^2\bigr)\bigl(4-(1+y)^2\bigr)}.\] Aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica y operando, \begin{eqnarray*} 2(x+y)&=&\sqrt{\bigl(4-(1+x)^2\bigr)\bigl(4-(1+y)^2\bigr)}-(1+x)(1+y)\\ &\leq&\frac{1}{2}\bigl(8-(1+x)^2-(1+y)^2\bigr)-(1+x)(1+y)\\ &=&2-2(x+y)-\frac{1}{2}(x+y)^2. \end{eqnarray*} Como $x+y=CD$, tenemos que $CD^2+8CD-4\leq 0$. La parábola $f(x)=x^2+8x-4$ toma valores menores o iguales que cero en el intervalo $[-4-2\sqrt{5},-4+2\sqrt{5}]$, lo que nos dice que $CD\leq -4+2\sqrt{5}$, como queríamos probar.

Nota. Es fácil ver a partir de la solución que la igualdad se alcanza cuando $x=y=-2+\sqrt{5}$, es decir, cuando $ABCD$ sea un trapecio isósceles con $AB=2$, $BC=-1+\sqrt{5}$, $CD=-4+2\sqrt{5}$ y $AD=-1+\sqrt{5}$.