Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En primer lugar, haciendo $y=\frac{\lambda}{x}$ en la ecuación funcional, llegamos a que \[f(x)f\left(\frac{\lambda}{x}\right)=1.\] lo que nos dice que $f(x)\neq 0$ para todo $x\in (0,\infty)$. Haciendo ahora $y=x$ en la ecuación funcional, obtenemos que \[f(x)^2=f\left(\frac{\lambda}{x}\right)^2,\] luego, combinando estas dos igualdades, \[f(x)^4=f(x)^2f\left(\frac{\lambda}{x}\right)^2=1\] De aquí deducimos que, para cada $x\in (0,\infty)$, se tiene que $f(x)=1$ ó $f(x)=-1$. Además, la igualdad $f(x)f(\frac{\lambda}{x})=1$ nos dice ahora que $f(x)=f(\frac{\lambda}{x})$ para todo $x\in(0,\infty)$. Usando esto en la ecuación original, no es difícil ver que \[f(xy)=f(x)f(y)\] para cualesquiera $x,y\in (0,\infty)$, es decir, $f$ es multiplicativa. Tomando $y=\frac{\lambda}{x^2}$ en esta última ecuación y usando que $f(x)=f(\frac{\lambda}{x})$, deducimos que $f(\frac{\lambda}{x^2})=1$ para todo $x\in (0,\infty)$, lo que nos dice que $f$ es constante uno. Como cumple la ecuación original, deducimos que $f(x)=1$ es la única solución al problema.

Solución. En primer lugar, observemos que \[(2r-1)^2+(2s-1)^2+(2u-1)^2+(2v-1)^2\geq 0.\] Desarrollando esta desigualdad y agrupando términos llegamos a que \[(r-s^2)+(s-u^2)+(u-v^2)+(v-r^2)\leq 1.\] De aquí deducimos que alguno de estos cuatro números es menor o igual que $\frac{1}{4}$ ya que si todos fuesen mayores que $\frac{1}{4}$, la suma sería mayor que $1$.

Nota. Si se alcanza la igualdad en la desigualdad del enunciado, entonces $r=s=u=v=\frac{1}{2}$.

Solución. Vamos a utilizar la función auxiliar $f(x)=2x-x^2$. Tomando $a=b$ en el enunciado, obtenemos que si $a\in M$, entonces $f(a)\in M$ e, iterando el proceso, $f(f(a))\in M$, $f(f(f(a)))\in M$, etc. En consecuencia, si demostramos que la cadena $\{a,f(a),f(f(a)),\ldots\}$ tiene infinitos términos distintos, entonces $a$ no puede pertenecer a $M$ ya que $M$ es finito.

Con esto en mente, distingamos algunos casos para $a$:

• Si $a<0$, entonces $f(a)=2a-a^2\lt a\lt 0$. Por tanto, si $a\in M$, entonces $a\gt f(a)\gt f(f(a))\gt\ldots$, contradiciendo que $M$ es un conjunto finito.
• Si $a=0$, entonces $f(a)=0$.
• Si $0\lt a\lt 1$, entonces $0\lt f(a)=2a-a^2\lt a$. Por tanto, si $a\in M$, entonces $a\gt f(a)\gt f(f(a))\gt\ldots$, contradiciendo que $M$ es un conjunto finito.
• Si $a=1$, entonces $f(a)=1$.
• Si $1\lt a\lt 2$, entonces $0\lt f(a)=2a-a^2\lt 1$. Si $a\in M$, entonces hemos encontrado el elemento $f(a)$ de $M$ con $0\lt f(a)\lt 1$, luego según lo que hemos probado anteriormente esto lleva a contradicción.
• Si $a=2$, entonces $f(a)=0$.
• Si $2\lt a$, entonces $f(a)\lt 0$ y también llegamos a una contradicción según hemos probado antes.

De todo esto deducimos que los únicos elementos que puede tener $M$ son $\{0,1,2\}$. Como $M$ ha de tener al menos dos elementos distintos $a\lt b$ de entre estos tres, deducimos que $2a- b^2\lt 0$, lo que nos lleva a otra contradicción ya que $M$ no contiene números negativos. En consecuencia, no existen conjuntos $M$ en las condiciones del enunciado.

Solución. Consideremos el polinomio $p(z)=z^3+2z^2+10z-20$. Como el coeficiente en $z^3$ es uno, si $x$ fuera una raíz racional de $p(z)$, tendría que ser entera y, por tanto, un divisor de $20$. Ahora bien, $p(z)\geq p(2)=16\gt 0$ para $z\geq 2$, luego $x\leq 1$. Por otro lado, $p(z)=z(z^2+2)+10z-20$, luego $p(z)\leq-20$ para $z\leq 0$, de donde $x\gt 0$. Tenemos entonces que $0\lt x\leq 1$, de donde la única posibilidad es $x=1$. Como $x=1$ no satisface la ecuación, deducimos que $x$ no es racional.

Para ver si $x^2$ es racional o no, observemos que \begin{eqnarray*} 0=p(x)p(-x)&=&(x^3+2x^2+10x-20)(-x^3+2x^2-10x-20)\\ &=&-x^6-16x^4-180x^2+400, \end{eqnarray*} luego $y=x^2$ es una raíz del polinomio $q(z)=z^3+16z^2+180z-400$. Razonando de forma similar al caso anterior, si $y$ fuese racional, entonces sería entero y divisor de $400$. Además, $q(z)\geq q(2)=640\gt 0$ para $z\geq 2$ y $q(z)=z(z^2+16)+180z-400\leq -400\lt 0$ para $z\leq 0$. Deducimos que $0\lt y\leq 1$, luego $y=1$ pero entonces $x=\pm 1$ sería racional y hemos probado antes que no lo es. Por tanto, $x^2$ no es racional.

Nota. Quizá puede parecer que nos hemos sacado de la manga el producto $p(x)p(-x)$, pero vamos a intentar justificar el porqué. Para cualquier polinomio $p(x)$, el producto $r(x)=p(x)p(-x)$ es otro polinomio en $x$ pero es par ya que $r(x)=r(-x)$. Esto nos dice que $r(x)$ sólo tiene términos de exponente par y es en lo que nos hemos basado en la solución.

Solución. En primer lugar, el hecho de saber que $g(n)$ se define sobre los números pares e impares nos hace pensar en utilizar la base $2$ para expresar la función. Calculando unos cuantos términos $g(n)$ y expresando $n$ en base $2$, parece que $g(n)$ es la suma de las cifras de $n$ en base $2$ y esto será lo que probemos por inducción completa.

Está claro que, para $n=1$ ó $n=2$, $g(1)=g(2)=1$, con lo cual se cumple el caso base. Dado $n\in\mathbb{N}$, supongamos ahora que $g(j)$ es la suma de los dígitos de $j$ para $1\leq j\lt n$ y probémoslo para $n$. Tendremos que distinguir casos dependiendo de si $n$ es par o impar:

• Si $n$ es par, entonces $n=2j$ para algún $j$, luego $g(n)=g(2j)=g(j)$. Ahora bien, los dígitos de $n$ en base $2$ son los de $j$ a los que se ha añadido un cero al final, luego $g(n)$ también es la suma de los dígitos de $n$ en base $2$.
• Si $n$ es impar, entonces $n=2j+1$ para algún $j$, luego $g(n)=g(2j+1)=g(2j)+1=g(j)+1$. Como los dígitos de $n$ en base $2$ son los de $j$ a los que se ha añadido un uno al final, tendremos que $g(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en base $2$.

Visto esto, el problema se reduce a saber cuál es el número $n\leq 2002$ con mayor suma de dígitos en base $2$ o, equivalentemente, con mayor número de unos en base $2$. El primer número que tiene $k$ unos en base $2$ es $2^k-1$. Como $2^{10}-1=1023\lt 2002$ y $2^{11}-1=2047\gt 2002$, deducimos que $M=10$.

Falta por ver cuántos números $n\leq 2002$ tienen exactamente $10$ unos en base $2$. No obstante, como dichos números tienen a lo sumo $11$ cifras, los posibles candidatos son los que tienen exactamente un cero, que son los de la forma $2^{11}-2^{i}-1$ para $0\leq i\leq 10$.

• Para $i\leq 5$ tenemos que $2^{11}-2^{i}-1\geq 2^{11}-2^5-1=2015$.
• Para $i\geq 6$ tenemos que $2^{11}-2^{i}-1\leq 2^{11}-2^6-1=1983$.

Por tanto, los números buscados son los que se obtienen para $6\leq i\leq 10$ y, deducimos que hay exactamente cinco números que alcanzan el máximo.