Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La ecuación del enunciado se puede expresar como \[(x-5)(y-4)=47.\] Como $47$ es un número primo, llegamos a que $x-5$ e $y-4$ tienen que ser $\pm 1$ ó $\pm 47$. Tenemos así cuatro posibilidades:

• $x-5=1$ e $y-4=47$, lo que nos lleva a $x=6$ e $y=51$.
• $x-5=-1$ e $y-4=-47$, lo que nos lleva a $x=4$ e $y=-43$.
• $x-5=47$ e $y-4=1$, lo que nos lleva a $x=52$ e $y=5$.
• $x-5=-47$ e $y-4=-1$, lo que nos lleva a $x=-42$ e $y=3$.

Éstas son las cuatro soluciones del problema.

Solución. Como aparecen potencias pares, podemos suponer que $n\geq 0$. Si probamos unos cuantos números, veremos que obtenemos $1$ para $n=0$ (que no es primo), $3$ para $n=1$ (que sí es primo) y, después siempre obtenemos números compuestos: esto será lo que intentaremos ver. Para probar que el resultado de evaluar un polinomio de coeficientes enteros es compuesto, suele ser útil factorizar el polinomio. No es difícil llegar a que \[n^4+n^2+1=(n^2+n+1)(n^2-n+1).\] Además, el factor $n^2+n+1$ es mayor que $1$ para $n\geq 1$ y el factor $n^2-n+1$ es mayor que $1$ para $n\geq 2$, lo que nos dice que $n^4+n^2+1$ es compuesto para $n\geq 2$. Por tanto, los únicos números que cumple el enunciado son $n=\pm 1$.

Solución. Observemos que la condición del enunciado se puede expresar como \[a_{n+2}a_{n+1}=a_{n+1}a_n+1.\] Como $a_2a_1=1$, es fácil darse cuenta de que $a_{n+2}a_{n+1}=n+1$ para todo número natural $n$. Así, para cada $n\geq 3$, podemos despejar $a_n=\frac{n-1}{a_{n-1}}$ y calcular \[a_{2004}=\frac{2003}{a_{2003}}=\frac{2003\cdot a_{2002}}{2002}=\frac{2003\cdot 2001}{2002\cdot a_{2001}}=\ldots=\frac{2003\cdot 2001\cdots 3}{2002\cdot 2000\cdots 2}.\] Otra forma de expresar el resultado usando factoriales es: \[a_{2004}=\frac{2003!}{(2002\cdot 2000\cdots 2)^2}=\frac{2003!}{2^{2002}\cdot (1001!)^2}.\]

Solución. Cualquier intento de manipulación de la ecuación está abocado al fracaso puesto que esta ecuación es lo que se conoce como ecuación trascendente. No obstante, hay un método indirecto que nos lleva a la solución.

Consideremos la función $f(x)=\log_5(x-5)+\log_6(x+6)$, que está definida para $x\gt 5$ y es estrictamente creciente (es decir, $f(x)\gt f(y)$ si $x\gt y$), lo que nos dice que si la ecuación $f(x)=4$ tiene una solución, entonces la solución es única (¿por qué?). Visto eso, si uno prueba un poco con números sencillos, verá rápidamente que $x=30$ es una solución, luego es la única.

Solución. Es preciso darse cuenta de que \[\frac{Q}{P}=\frac{(2n)(2n-1)\cdots n}{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}=\left(\begin{matrix}2n\\n\end{matrix}\right).\] Como los números combinatorios son números naturales, deducimos que $P$ divide a $Q$.