Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un entero positivo. Se realizan las $35$ multiplicaciones: \[1\cdot n,\quad 2\cdot n,\quad\ldots \quad 35\cdot n.\] Demostrar que en alguno de estos resultados aparece al menos una vez el dígito $7$.

Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Hallar dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{1,2,...,2021\}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.

Demostrar que existe un conjunto $C$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades:

• Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.
• Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.

Para cada entero positivo $n$, se define $T_n$ como el menor entero positivo tal que $1+2+···+T_n$ es múltiplo de $n$. Hallar todos los enteros positivos $m$ tales que $T_m\geq m$.

Nota: Por ejemplo, $T_5 = 4$ puesto que $1$, $1+2$ y $1+2+3$ no son múltiplos de $5$, pero $1+2+3+4$ sí es múltiplo de $5$.

Halla todas las ternas de enteros positivos $(x,y,z)$, con $z\gt 1$, que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones: \[x\text{ divide a }y+1,\qquad y\text{ divide a }z−1,\qquad z\text{ divide a }x^2+1.\]