Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Ordenamos los cuatro dígitos como $a\leq b\leq c\leq d$ (la forma de ordenarlos no afecta a la suma ni al producto) y supongamos que $a+b+c+d\geq abcd$. Si algunos de estos dígitos son cero, se tiene claramente la desigualdad estricta (ya que la suma de los dígitos no puede ser cero). Hay $9^4=6561$ números con los cuatro dígitos distintos de cero, luego $9000=6561=2439$ en los que alguno de los dígitos es cero.

Supongamos ahora que ningún dígito es cero. No puede ser $b\geq 2$ ya que en tal caso se tendría que $abcd\geq bcd\geq 4d\geq a+b+c+d$ y la igualdad no se alcanza pues tendría que ser $a=1$ (en la primera desigualdad) y $a=b=c=d$ (en la última), lo cual es incompatible con $b\geq 2$. Deducimos así que $a=b=1$, lo que nos deja con la desigualdad $2+c+d\geq cd$, que se escribe de forma equivalente como $(c-1)(d-1)\leq 3$.

• Si $c=1$, entonces $d$ puede ser cualquier número entre $1$ y $9$, lo que nos da la solución 1111 además todos los números que son permutación de $111d$. Esto nos da un total de $1+8\cdot 4=33$ soluciones en las cuales no se da nunca la igualdad.
• Si $c=2$, entonces $d$ puede ser 2, 3 o 4 y con el 4 se da la igualdad. Esto nos da 6 soluciones que son permutación de 1122, 12 soluciones que son permutación de 1123 y 12 soluciones que son permutación de 1124. Esto hace un total de 30 soluciones y solo en 12 de ellas se da la igualdad.
• Si $c\geq 3$ ya no hay ninguna solución pues tendría que ser $d\geq 3$.

Recapitulando, tenemos $2439+33+30=2502$ soluciones y solamente en $12$ de ellas se obtiene la igualdad.

Solución. Las dos últimas cifras de \(a_n\) sólo dependen de las dos últimas cifras de \(a_{n-1}\), luego bastará calcular algunos términos hasta que se repitan las dos últimas cifras. En realidad, esto podría ser un proceso muy largo, pero da la casualidad de que obtenemos la siguiente sucesión de últimas cifras: \[03\to 12\to 56\to 92\to 56\to 92\to 56\to 92\to\ldots\] De esta forma, salvo los dos primeros, vemos que los siguientes se repiten por parejas. En particular, las dos últimas cifras de \(a_{2000}\) son las mismas que las de \(a_4\), luego la respuesta a la pregunta es \(92\).

Solución. Supongamos que el número es $n=1000a+100b+10c+d$, siendo $a$ la cifra de las unidades de millar, $b$ la de las centenas, $c$ la de las decenas y $d$ la de las unidades. Los números que se obtienen al insertar un cero son los cuatro siguientes: \begin{align*} N_1&=10000a+100b+10c+d\\ N_2&=10000a+1000b+10c+d\\ N_3&=10000a+1000b+100c+d\\ N_4&=10000a+1000b+100c+10d. \end{align*} Como son todo múltiplos de $7$, $N_4-N_3=9d$ también lo es, luego tiene que ser $d=7$ o bien $d=0$. De la misma forma, $N_3-N_2=90c$ es múltiplo de $7$, luego $c=7$ o $c=0$. También $N_2-N_1=900b$ nos da que $b=0$ o $b=7$. Finalmente, $10N_1-N_4=90000a$ nos dice que $a=0$ o $a=7$, pero no puede ser $a=0$ porque entonces el número no sería de cuatro cifras. Nos quedan pues los siguientes posibles valores de $n$: \begin{align*} 7000&&7007&&7070&&7077\\ 7700&&7707&&7770&&7777. \end{align*} Como todos ellos verifican claramente la propiedad del enunciado, deducimos que estas son las únicas soluciones.