Hallar el menor entero positivo $n$ tal que la suma de los $n$ términos
$$A(n) = 1 + 11 + 111 + \ldots + 11\ldots11$$
sea divisible por $45$.
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Pista. Ser divisible por $45$ equivale a ser divisible por $5$ y por $9$.
Solución. Ser divisible por $45$ es lo mismo que ser divisible simultáneamente por $5$ y por $9$. Por un lado tenemos que
\[A(n)\equiv 1+1+1+\ldots+1=n\ (\text{mod }5),\]
luego $A(n)$ es múltiplo de $5$ si y solo si $n$ lo es. Por otro lado,
\[A(n)\equiv 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2\ (\text{mod }9),\]
ya que cada número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$ y donde hemos usado además la fórmula conocida para la suma de los $n$ primeros números naturales. Ahora bien, $\frac{n(n+1)}2$ es múltiplo de $9$ cuando $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$ (ambos no pueden ser múltiplos de $3$ porque son enteros consecutivos). Buscando el primer múltiplo positivo de $5$ tal que $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$, llegamos rápidamente a que la respuesta a la pregunta del enunciado es $n=35$.
Problema 570
Encontrar todas las soluciones enteras $(a,b,c)$ del siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{array}{l}ab-c=27\\ac+b=36\end{array}\right.$$
pistasolución 1solución 2info
Pista. Suma los cuadrados de las dos ecuaciones.
Solución. Observamos que
\begin{align*}
2025=(ab-c)^2+(ac+b)^2&=a^2b^2-2abc+c^2+a^2c^2+2abc+b^2\\
&=a^2b^2+c^2+a^2c^2+b^2=(a^2+1)(b^2+c^2).
\end{align*}
Esto nos dice que $a^2+1$ y $b^2+c^2$ son divisores (positivos) de $2025$. Los divisores positivos de $2025=3^4\cdot 5^2$ son
\[\{1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025\}.\]
El factor $a^2+1$ es una unidad más de un cuadrado y los únicos números de la lista anterior que cumplen esta propiedad son $1$ y $5$ (puede comprobarse fácilmente caso por caso). Esto nos dice que $a^2=0$ o bien $a^2=4$. Distingamos casos:
- Si $a=0$, entonces el sistema del enunciado nos da directamente $c=-27$ y $b=36$.
- Si $a=2$, el sistema original se reduce a $2b-c=27$ y $2c+b=36$. Este sistema lineal se resuelve fácilmente y tiene solución única $b=18$ y $c=9$.
- Si $a=-2$, el sistema original se reduce a $-2b-c=27$ y $-2c+b=36$. Este sistema lineal tiene solución única $b=\frac{-18}{5}$ y $c=\frac{-99}{5}$, que no son números enteros, luego no obtenemos soluciones en este caso.
Deducimos que las únicas soluciones son $(a,b,c)=(0,36,-27)$ y $(a,b,c)=(2,18,9)$.
Solución. Podemos pensar en este sistema como un sistema lineal con incógnitas $b$ y $c$ y siendo $a$ un parámetro. El sistema es compatible determinado (tiene solución única) y su solución es
\[b=\frac{9 (3 a+4)}{a^2+1},\qquad c\frac{9 (4 a-3)}{a^2+1}.\]
Para obtenerla, sólo hay que sumar o restar a una ecuación la otra multiplicada por $a$. Ahora bien, esta solución tiene que ser entera y $a$ también entero. Podemos eliminar la $a$ del numerador observando que
\[4b-3c=\frac{9 (12 a+16)}{a^2+1}-\frac{9 (12 a-9)}{a^2+1}=\frac{225}{a^2+1}.\]
De aquí tenemos que $a^2+1$ tiene que ser un divisor (positivo) de $225$, es decir, uno de los siguientes números:
\[\{1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225\}.\]
El factor $a^2+1$ es una unidad más de un cuadrado y los únicos números de la lista anterior que cumplen esta propiedad son $1$ y $5$ (puede comprobarse fácilmente caso por caso). Esto nos dice que $a^2=0$ o bien $a^2=4$. Distingamos casos:
- Si $a=0$, entonces el sistema del enunciado nos da directamente $c=-27$ y $b=36$.
- Si $a=2$, el sistema original se reduce a $2b-c=27$ y $2c+b=36$. Este sistema lineal se resuelve fácilmente y tiene solución única $b=18$ y $c=9$.
- Si $a=-2$, el sistema original se reduce a $-2b-c=27$ y $-2c+b=36$. Este sistema lineal tiene solución única $b=\frac{-18}{5}$ y $c=\frac{-99}{5}$, que no son números enteros, luego no obtenemos soluciones en este caso.
Deducimos que las únicas soluciones son $(a,b,c)=(0,36,-27)$ y $(a,b,c)=(2,18,9)$.