Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos la identidad $$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc.$$ Si $abc=k(a+b+c)$, entonces podemos sacar factor común $a+b+c$: $$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac+3k).$$ Ahora bien, $1\lt a+b+c\lt a^3+b^3+c^3$ salvo que $a=b=c=1$, pero en tal caso se tendría que $k=\frac{1}{3}\not\in\mathbb{N}$. Deducimos así que $a+b+c$ es un factor propio de $a^3+b^3+c^3$ y, por tanto, este número no puede ser primo.

Para responder a la segunda pregunta, tomamos $c=k$, con lo que la condición $abc=k(a+b+c)$ se reescribe como $(a-1)(b-1)=k+1$ y ahora basta elegir $a=2$ y $b=k+2$. Es fácil comprobar que $(a,b,c)=(2,k+2,k)$ cumple la condición dada.

Solución. Intentando completar una potencia cuarta, se llega directamente a que \[a^4+4a^3+11a^2+6a+2=(a+1)^4+5a^2+2a+1=((a+1)^2)^2+(2a)^2+(a+1)^2.\] Para ver que es múltiplo de $4$, observamos que $a^2\equiv a^4\equiv 1\ (\text{mod }4)$ y que $6a\equiv 2\ (\text{mod }4)$ para todo entero impar $a$. Esto nos dice que \[a^4+4a^3+11a^2+6a+2\equiv 1+0+3+2+2\equiv 0\ (\text{mod }4).\]

Solución. Como la suma de los dígitos de un número es congruente con el número módulo $9$ y todo cuadrado es congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$, deducimos que la suma de los dígitos de un cuadrado deja uno de estos restos al dividirse entre $9$. Vamos a probar que estos son todos los números buscados, es decir, que todo número congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$ es la suma de los dígitos de un cuadrado y habremos terminado.

• Consideremos los números de la forma $5,35,335,3335,33335,\ldots$ con un cierto número de treses seguidos de un cinco. Sus cuadrados son $25,1225,112225,11115556,\ldots$ cuyas sumas nos dan todos los números de la forma $3k+1$ para $k\geq 2$. Para $k=0$ y $k=1$, tenemos $1^2=1$ con suma $1$ y $2^2=4$ con suma $4$, luego recuperamos así todos los números naturales congruentes con $1$, $4$ y $7$ módulo $9$.
• Tomemos ahora los números de la forma $6,36,336,3336,33336,\ldots$ en los que hemos sustituido los cincos por seises. Sus cuadrados son $36,1296,112896,11128896,1111288896,\ldots$ cuya suma de dígitos es cualquier múltiplo de $9$.

Solución. Que el número $n$ sea sensato equivale a que \[n=a(1+r+r^2+\ldots+r^k)\] para ciertos $a,r\in\mathbb{N}$ tales que $1\lt r\lt n-1$ y $1\leq a\leq r-1$. El caso de $1994=2\cdot 997$ es obvio ya que basta tomar $a=2$, $r=996$ y $k=1$, lo que nos da la representación $1994=22_{(996)}$.

Como $1993$ es primo, no vale el truco anterior y tenemos que necesariamente $a=1$. Por tanto, $1993$ será sensato cuando podamos encontrar $r,k\geq 2$ tales que \[1993=1+r+\ldots+r^k.\] Esta ecuación nos dice además que $r$ debe ser un divisor de $1992=2^3\cdot 3\cdot 81$. No obstante, $r$ no puede ser múltiplo de $81$ ya que $81^2\gt 1993$, lo que nos deja sólo las posibilidades $r\in\{2,3,4,6,8,12,24\}$. En realidad, se pueden probar una a una sin perder demasiado tiempo, pero una opción sin tanto cálculo es observar que $$1993=1+r+\ldots+r^k=\frac{r^{k+1}-1}{r-1}\ \Leftrightarrow\ 1+1993(r-1)=r^{k+1},$$ luego sólo tenemos que calcular $1+1993(r-1)$ y ver si es potencia de $r$ o no:

• Para $r=2$, tenemos que $1+1993(r-1)=1994=2\cdot 997$ no es potencia de $2$.
• Para $r=3$, tenemos que $1+1993(r-1)=3987=9\cdot 443$ no es potencia de $3$.
• Para $r=4$, tenemos que $1+1993(r-1)=5980$ es múltiplo de $5$ y no es potencia de $4$.
• Para $r=6$, tenemos que $1+1993(r-1)=9966$ es múltiplo de $11$ y no es potencia de $6$.
• Para $r=8$, tenemos que $1+1993(r-1)=13952=2^7\cdot 109$ no es potencia de $8$
• Para $r=12$, tenemos que $1+1993(r-1)=21924$ es múltiplo de $7$ y no es potencia de $12$.
• Para $r=24$, tenemos que $1+1993(r-1)=45840$ es múltiplo de $5$ y no es potencia de $24$.

Concluimos que $1993$ no es sensato.