Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como la suma de los dígitos de un número es congruente con el número módulo $9$ y todo cuadrado es congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$, deducimos que la suma de los dígitos de un cuadrado deja uno de estos restos al dividirse entre $9$. Vamos a probar que estos son todos los números buscados, es decir, que todo número congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$ es la suma de los dígitos de un cuadrado y habremos terminado.

• Consideremos los números de la forma $5,35,335,3335,33335,\ldots$ con un cierto número de treses seguidos de un cinco. Sus cuadrados son $25,1225,112225,11115556,\ldots$ cuyas sumas nos dan todos los números de la forma $3k+1$ para $k\geq 2$. Para $k=0$ y $k=1$, tenemos $1^2=1$ con suma $1$ y $2^2=4$ con suma $4$, luego recuperamos así todos los números naturales congruentes con $1$, $4$ y $7$ módulo $9$.
• Tomemos ahora los números de la forma $6,36,336,3336,33336,\ldots$ en los que hemos sustituido los cincos por seises. Sus cuadrados son $36,1296,112896,11128896,1111288896,\ldots$ cuya suma de dígitos es cualquier múltiplo de $9$.

Solución. Que el número $n$ sea sensato equivale a que \[n=a(1+r+r^2+\ldots+r^k)\] para ciertos $a,r\in\mathbb{N}$ tales que $1\lt r\lt n-1$ y $1\leq a\leq r-1$. El caso de $1994=2\cdot 997$ es obvio ya que basta tomar $a=2$, $r=996$ y $k=1$, lo que nos da la representación $1994=22_{(996)}$.

Como $1993$ es primo, no vale el truco anterior y tenemos que necesariamente $a=1$. Por tanto, $1993$ será sensato cuando podamos encontrar $r,k\geq 2$ tales que \[1993=1+r+\ldots+r^k.\] Esta ecuación nos dice además que $r$ debe ser un divisor de $1992=2^3\cdot 3\cdot 81$. No obstante, $r$ no puede ser múltiplo de $81$ ya que $81^2\gt 1993$, lo que nos deja sólo las posibilidades $r\in\{2,3,4,6,8,12,24\}$. En realidad, se pueden probar una a una sin perder demasiado tiempo, pero una opción sin tanto cálculo es observar que $$1993=1+r+\ldots+r^k=\frac{r^{k+1}-1}{r-1}\ \Leftrightarrow\ 1+1993(r-1)=r^{k+1},$$ luego sólo tenemos que calcular $1+1993(r-1)$ y ver si es potencia de $r$ o no:

• Para $r=2$, tenemos que $1+1993(r-1)=1994=2\cdot 997$ no es potencia de $2$.
• Para $r=3$, tenemos que $1+1993(r-1)=3987=9\cdot 443$ no es potencia de $3$.
• Para $r=4$, tenemos que $1+1993(r-1)=5980$ es múltiplo de $5$ y no es potencia de $4$.
• Para $r=6$, tenemos que $1+1993(r-1)=9966$ es múltiplo de $11$ y no es potencia de $6$.
• Para $r=8$, tenemos que $1+1993(r-1)=13952=2^7\cdot 109$ no es potencia de $8$
• Para $r=12$, tenemos que $1+1993(r-1)=21924$ es múltiplo de $7$ y no es potencia de $12$.
• Para $r=24$, tenemos que $1+1993(r-1)=45840$ es múltiplo de $5$ y no es potencia de $24$.

Concluimos que $1993$ no es sensato.

Solución. Distinguimos tres casos:

• Si $a=1$, entonces $7^b=c^2+2$, luego $c$ es un número impar. Módulo $8$, el miembro de la izquierda es congruente con $1$ o con $7$, mientras que el de la derecha es congruente con $3$, luego no puede haber solución en este caso.
• Si $a=2$, entonces $7^b=c^2$, luego $b$ es par y $c$ una potencia de $7$.
• Si $a\geq 3$, entonces tenemos que $7^b\equiv c^2+4\ (\text{mod }8)$. Esto es imposible ya que el miembro de la izquierda es congruente con $1$ o $7$ y el de la izquierda es congruente con $5$ ya que $c$ es impar.

Obtenemos que las soluciones son las de la forma $(a,b,c)=(2,2k,7^k)$ para cierto entero $k\geq 1$.

Solución. Dado que $10\leq n\leq 99$, el número $10^n-n$ tiene $n$ dígitos: los $n-2$ más significativos iguales a $9$ y los dos menos significativos iguales a los de $100-n$. Por lo tanto, la suma de los dígitos es menor que $99\cdot 9=891$. De esta forma, buscamos los números para los que la suma de los dígitos es $170$, $340$, $510$, $680$ u $850$. Distinguimos estos cinco casos:

• Suma $170$. Para $n=18$, tenemos $9(n-2)=144$ luego no podemos llegar con los últimos dos dígitos a $170$. Para $n=19$, tenemos $9(n-2)=153$ y los últimos dos dígitos de $10^n-n$ son $81$, luego la suma de dígitos es $153+8+1=162\neq 170$. Para $n=20$, tenemos $9(n-2)=162$ y los últimos dos dígitos de $10^n-n$ son $80$, luego su suma de dígitos es $162+8+0=170$. Para $n=21$, tenemos que $9(n-2)=171\gt 170$. Deducimos que el único número con suma $170$ es $n=20$.
• Suma $340$. Razonando de forma análoga, las únicas posibilidades son $n=38$ y $n=39$. La suma de los dígitos de $10^{38}-38$ es $36\cdot 9+6+2=332$ y la suma de los dígitos de $10^{39}-39$ es $37\cdot 9+6+1=340$, luego tenemos la solución $n=39$.
• Suma $510$. Otra vez por el mismo motivo, tenemos los candidatos $n=57$ y $n=58$. La suma de los dígitos de $10^{57}-57$ es $55\cdot 9+4+3=502$ y la suma de los dígitos de $10^{58}-58$ es $56\cdot 9+4+2=510$, luego tenemos la solución $n=58$.
• Suma $680$. De nuevo por el mismo motivo, tenemos los candidatos $n=76$ y $n=77$. La suma de los dígitos de $10^{76}-76$ es $74\cdot 9+2+4=672$ y la suma de los dígitos de $10^{77}-77$ es $75\cdot 9+2+3=680$, luego tenemos la solución $n=77$.
• Suma $850$. En este caso, tenemos los candidatos $n=95$ y $n=96$. La suma de los dígitos de $10^{95}-95$ es $93\cdot 9+0+5=842$ y la suma de los dígitos de $10^{96}-96$ es $94\cdot 9+0+4=850$, luego tenemos la solución $n=96$.

Hemos obtenido que hay cinco números que cumplen la condición del enunciado: $20$, $39$, $58$, $77$ y $96$.

Solución. Supongamos que los números son $n-1$, $n$, $n+1$ y $n+2$, luego su producto \[(n-1)n(n+1)(n+2)=n^4+2 n^3-n^2-2 n=(n^2+n-1)^2-1\] se diferencia en una unidad con un cuadrado perfecto. Claramente, no hay dos cuadrados positivos que se diferencien en una unidad, lo que nos lleva a que el producto original no es un cuadrado perfecto.