Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Es fácil encontrar las soluciones $n=1$ y $n=3$, para las que obtenemos $8=2^3$ y $128=2^7$, mientras que $n=2$ no es solución ya que $5^2+3=28$ no es potencia de $2$. Veremos que $5^n+3$ no puede ser múltiplo de $256=2^8$ para ningún valor de $n$, lo que nos dirá que $n=1$ y $n=3$ son las únicas soluciones.

Tomando restos módulo $256$, el teorema de Euler nos dice que que $5^{\varphi(n)}\equiv 1\ (\text{mod }256)$ y, elevando sucesivamente al cuadrado, tenemos que \begin{align*} 5^2&\equiv 25\ (\text{mod }256),& 5^4&\equiv 25^2\equiv 113\ (\text{mod }256),& 5^8&\equiv 113^2\equiv 225\ (\text{mod }256)\\ 5^{16}&\equiv 225^2\equiv 193\ (\text{mod }256),& 5^{32}&\equiv 193^2\equiv 129\ (\text{mod }256),& 5^{64}&\equiv 129^2\equiv 1\ (\text{mod }256). \end{align*} Esto nos dice que $64$ es el menor exponente al que hay que elevar $5$ para obtener un múltiplo de $256$.

Nota. Si se considera $n=0$ como número natural, habría que incluirlo como solución ya que en tal caso tenemos $5^0+3=2^2$, pero esto no afecta al resto del razonamiento.

Solución. Llamemos $a_1,\ldots,a_8$ a las longitudes de los ocho lados del octógono, escritos de forma consecutiva. Vamos a demostrar que $a_1=a_5$ puesto que las otras igualdades $a_2=a_6$, $a_3=a_7$ y $a_4=a_8$ se demuestran de forma similar.

Para ello, vamos a tomar las rectas que contienen a los lados impares $a_1,a_3,a_5,a_7$. Como los ángulos interiores son iguales a $45º$, estas rectas son paralelas dos a dos y forman un rectángulo $R$. Además, si a $R$ le quitamos el octógono, quedarán cuatro triángulos rectángulos isósceles de hipotenusas $a_2,a_4,a_6,a_8$, por lo que sus catetos serán $\frac{a_2}{\sqrt{2}},\frac{a_4}{\sqrt{2}},\frac{a_6}{\sqrt{2}},\frac{a_8}{\sqrt{2}}$, respectivamente. Imponiendo ahora que los lados opuestos de $R$ deben tener igual longitud, nos quedan las relaciones $$\frac{a_4+a_6}{2}\sqrt{2}+a_5=\frac{a_8+a_2}{2}\sqrt{2}+a_1,\qquad \frac{a_2+a_4}{2}\sqrt{2}+a_3=\frac{a_6+a_8}{2}\sqrt{2}+a_7.$$ Si usamos finalmente que los lados tienen longitudes enteras, entonces los términos que multiplican a $\sqrt{2}$ deben ser iguales (ya que $\sqrt{2}$ es irracional, mientras que el resto de términos son racionales), lo que nos lleva a reformular las igualdades anteriores como $$\frac{a_4+a_6}{2}=\frac{a_8+a_2}{2},\qquad a_5=a_1,\qquad \frac{a_2+a_4}{2}\sqrt{2}=\frac{a_6+a_8}{2},\qquad a_3=a_7,$$ probando así la igualdad que queríamos.

Nota. ¿Es cierto el mismo resultado para un hexágono?

Solución. Que los tres últimos dígitos coincidan equivale a que $$1978^n-1978^m=1978^m(1978^{n-m}-1)\equiv 0\ (\text{mod }1000).$$ Esto implica que $m\geq 3$ ya que $1000=2^35^3$ y nos bastará trabajar módulo $5^3=125$. Vamos a buscar, por tanto, el menor entero $k$ tal que $1978^k\equiv 1\ (\text{mod }125)$. El teorema de Euler-Fermat nos dice que $1978^{\varphi(125)}\equiv 1\ (\text{mod }125)$ ya que $\mathrm{mcd}(125,1978)=1$, siendo $\varphi(125)=5^2(5-1)=100$. El menor exponente $k$ que estamos buscando debe ser un divisor de $100$ (ver nota), lo que nos da las posibilidades $k=1,2,4,5,10,20,25,50,100$. Ahora bien, como $1978\equiv 103\ (\text{mod }125)$, tenemos que $$1978^{2}\equiv 103^2=10609\equiv 109\ (\text{mod }125),\quad 1978^4\equiv 109^2=11881\equiv 6\ (\text{mod }125),$$ luego podemos calcular $$1978^{20}\equiv 103^4(103^4)^4=6\cdot 6^4\equiv 6\cdot 36^2\equiv 6\cdot 46\equiv 26\ (\text{mod }125).$$ Esto nos dice que el $k$ buscado no es igual a ninguno de los números $1,2,3,4,10,20$ (divisores de $20$). Probemos ahora $k=50$, lo que nos permitirá descartar también $25$ y $50$: $$1978^{50}\equiv 103^2((103^4)^4)^3=109\cdot 46^3\equiv 109\cdot 86\equiv 124\ (\text{mod }125).$$ Esto nos deja sólo la posibilidad $k=100$, que nos da $m=3$ y $n=103$. Por tanto, la menor suma posible es $m+n=106$.

Nota. La afirmación de que $k$ debe ser un divisor de $100$ es un hecho conocido, pero vamos a demostrarlo. Si tomamos $d=\mathrm{mcd}(k,100)$, entonces la identidad de Bézout nos dice que existen $u$ y $v$ tales que $d=ku+100v$, luego $1978^d=(1978^k)^u(1978^{100})^v\equiv 1\ (\text{mod }125$. Si $k$ es el menor entero positivo que cumple $1978^k\equiv 1\ (\text{mod }125)$, entonces tiene que ser $d=k$, es decir, $k$ es un divisor de $100$.

Solución. Basta darse cuenta de la siguiente expresión: $$\frac{2}{n}=\frac{1}{\frac{n+1}{2}}+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}},$$ donde los números $\frac{n+1}{2}$ y $\frac{n(n+1)}{2}$ son ambos enteros por ser $n$ impar. Además, estos dos números son distintos por ser $n\geq 3$.

Solución. Todo cuadrado perfecto da resto $0$ ó $1$ al dividirlo entre $4$, luego la suma de dos cuadrados dará resto $0$, $1$ ó $2$ módulo $4$. Como $2003$ da resto $3$ módulo $4$, deducimos que no se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos números enteros.