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Nota. La afirmación de que $k$ debe ser un divisor de $100$ es un hecho conocido, pero vamos a demostrarlo. Si tomamos $d=\mathrm{mcd}(k,100)$, entonces la identidad de Bézout nos dice que existen $u$ y $v$ tales que $d=ku+100v$, luego $1978^d=(1978^k)^u(1978^{100})^v\equiv 1\ (\text{mod }125$. Si $k$ es el menor entero positivo que cumple $1978^k\equiv 1\ (\text{mod }125)$, entonces tiene que ser $d=k$, es decir, $k$ es un divisor de $100$.
Como $a_1^2$ es un elemento de la sucesión, existirá $m\in\mathbb{N}$ tal que $a_1^2=a_1+md$, luego $x^2w=xyw+m y^2dz$. De aquí deducimos que $y$ divide a $x^2w$ luego también divide a $w$ (ya que $x$ e $y$ no tienen factores comunes). Por otro lado, de la ecuación $2pa_1+p^2d=r$ deducimos que $2pxw+p^2yz=ryw$, luego $w$ divide a $p^2y$ (ya que $w$ no tiene factores en común con $z$). Análogamente, la ecuación $2qa_1+q^2d=s$ nos dice que $w$ divide a $q^2y$. Por consiguiente, $w$ divide a $y$ ya que, en caso contrario, $w$, $p^2$ y $q^2$ tendrían algún factor en común, contradiciendo la hipótesis de que $p$ y $q$ son primos entre sí.
Hemos demostrado que $y$ y $w$ se dividen mutuamente, lo que nos asegura que $w=\pm y$. Entonces, la igualdad $x^2w=xyw+m y^2dz$ que ha aparecido anteriormente se rescribe como $\pm x^2=(\pm x+mdz)y$. Como $x$ e $y$ no tienen factores comunes, ha de ser $y=\pm 1$ y, por tanto, $w=\pm 1$ como queríamos probar.