Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sea $S$ la suma total de los elementos de la tabla. Cada vez que nos encontremos una fila o columna con suma negativa la cambiamos de signo. Cada una de estas operaciones incrementa el valor de $S$ y, como hay un número limitado de combinaciones de signos (es menor o igual que $2^{mn}$, el número de elecciones de signos $\pm$ en los $mn$ elementos de la tabla), este proceso no puede continuar indefinidamente, es decir, llegamos a un punto en el que todas las filas y columnas tienen suma positiva.

Solución. Escribamos los términos de la sucesión como $a_n=a_1+(n-1)d$ para cierto $d\in\mathbb{R}$ no nulo (la sucesión no es constante). Probaremos que $a_1$ y $d$ son enteros, lo que nos dará el resultado buscado. Para ello, si \begin{eqnarray*} a_{p+1}^2=(a_1+pd)^2&=&a_1^2+2pa_1d+p^2d^2,\\ a_{q+1}^2=(a_1+qd)^2&=&a_1^2+2qa_1d+q^2d^2, \end{eqnarray*} son elementos de la sucesión y $a_1^2$ también lo es, entonces $a_{p+1}^2-a_1^2=rd$ y $a_{q+1}^2-a_1^2=sd$ para ciertos enteros $r$ y $s$. Desarrollando estas diferencias de cuadrados llegamos a las ecuaciones \[\begin{cases} 2pa_1+p^2d=r,\\ 2qa_1+q^2d=s. \end{cases}\] Podemos resolver fácilmente este sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $a_1$ y $d$, obteniendo que \[a_1=\frac{p^2 s-q^2 r}{2 p q (p-q)},\qquad d=\frac{q r-p s}{p q (p-q)}.\] Es importante observar que el sistema es compatible determinado ya que los denominadores no se anulan por ser $p$ y $q$ primos entre sí (y, en particular, distintos). Esto prueba que $a_1$ y $d$ son racionales, luego podemos escribir como fracciones irreducibles $a_1=\frac{x}{y}$ y $d=\frac{z}{w}$. Probaremos que $y=\pm 1$ y $w=\pm 1$ y habremos terminado.

Como $a_1^2$ es un elemento de la sucesión, existirá $m\in\mathbb{N}$ tal que $a_1^2=a_1+md$, luego $x^2w=xyw+m y^2dz$. De aquí deducimos que $y$ divide a $x^2w$ luego también divide a $w$ (ya que $x$ e $y$ no tienen factores comunes). Por otro lado, de la ecuación $2pa_1+p^2d=r$ deducimos que $2pxw+p^2yz=ryw$, luego $w$ divide a $p^2y$ (ya que $w$ no tiene factores en común con $z$). Análogamente, la ecuación $2qa_1+q^2d=s$ nos dice que $w$ divide a $q^2y$. Por consiguiente, $w$ divide a $y$ ya que, en caso contrario, $w$, $p^2$ y $q^2$ tendrían algún factor en común, contradiciendo la hipótesis de que $p$ y $q$ son primos entre sí.

Hemos demostrado que $y$ y $w$ se dividen mutuamente, lo que nos asegura que $w=\pm y$. Entonces, la igualdad $x^2w=xyw+m y^2dz$ que ha aparecido anteriormente se rescribe como $\pm x^2=(\pm x+mdz)y$. Como $x$ e $y$ no tienen factores comunes, ha de ser $y=\pm 1$ y, por tanto, $w=\pm 1$ como queríamos probar.

Solución. Podemos simplificar la expresión del enunciado de la siguiente forma: \begin{eqnarray*} \frac{p}{q}&=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{1319}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{1318}\right)\\ &=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{1319}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{659}\right)\\ &=&\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+\ldots+\frac{1}{1319} \end{eqnarray*} Ahora bien, en esta última suma, basta emparejar el primer elemento con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente, con lo que llegamos a la siguiente igualdad \begin{eqnarray*} \frac{p}{q}&=&\left(\frac{1}{660}+\frac{1}{1319}\right)+\left(\frac{1}{661}+\frac{1}{1318}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{989}+\frac{1}{990}\right)\\ &=&\frac{1979}{660\cdot 1319}+\frac{1979}{661\cdot 1318}+\ldots+\frac{1979}{989\cdot 990} \end{eqnarray*} Como $1979$ es un número primo y los denominadores anteriores tienen factores menores que $1979$, deducimos que $p$ es múltiplo de $1979$, que es lo que queríamos probar.

Nota. Es interesante observar que $p$ y $q$ bien podrían tener factores comunes, pero hemos encontrado una fracción $\frac{p}{q}$ tal que $p$ es múltiplo de $1979$ y $q$ no, luego el numerador de cualquier fracción equivalente a $\frac{p}{q}$ será múltiplo de $1979$.

Solución. Observemos que \[\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2.\] Por tanto, evaluando en $x=5^{25}$, tenemos que \begin{eqnarray*} \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}&=&(5^{50}+3\cdot 5^{25}+1)^2-(5^{38}+5^{13})^2\\ &=&(5^{50}+5^{38}+3\cdot 5^{25}+5^{13}+1)(5^{50}-5^{38}+3\cdot 5^{25}-5^{13}+1). \end{eqnarray*} Claramente ambos factores son mayores que $1$, lo que prueba que el número original es compuesto.

Nota. Un ataque directo al problema calculando $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=1+5^{25}+5^{50}+5^{75}+5^{100}$ módulo distintos primos es inviable ya que su factor primo más pequeño es $3597751$.

Solución. El número resultante se puede escribir como \[N=a_1+a_210^5+a_310^{10}+\ldots+a_{88889}10^{444440},\] siendo $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{88889})$ la ordenación de los números que se ha tomado. Ahora bien, el número $10^5-1=99999$ se puede descomponer como $99999=9\cdot 11111$, luego se cumple que $10^5\equiv 1\ (\text{mód}\ 11111)$, lo que quiere decir que \[N\equiv a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{88889}\ (\text{mód}\ 11111).\] Ahora bien los números del $11111$ al $99999$ recorren nueve veces todos los restos módulo $11111$ (más una vez el resto cero). Como cada resto y su opuesto son distintos módulo $11111$ (ya que $11111$ es impar), está claro que la suma de todos los restos desde $0$ a $11110$ es igual a cero. Volviendo al razonamiento anterior, esto nos asegura que \[N\equiv a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{88889}\equiv 0\ (\text{mód}\ 11111),\] luego el número $N$ es múltiplo de $11111$ independientemente del orden que se ha elegido para colocar los números. Por tanto, no puede ser una potencia de $2$, como queríamos probar.

Nota. Observemos que $99999=3^2\cdot 41\cdot 271$, luego también podríamos haber hecho el mismo razonamiento módulo $41$ ó módulo $271$. No obstante, la técnica usual en estos casos (trabajar módulo $3$ ó $9$) no funciona en este caso ya que queda $N\equiv 8\ (\text{mód}\ 9)$ y sí hay potencias de $2$ congruentes con $8$ módulo $9$.