Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Construyamos el conjunto $S$ por inducción sobre $n$. Para el caso base $n=2$, basta tomar el conjunto $S=\{1,2\}$. Supongamos entonces que $\{a_1,\ldots,a_n\}$ es un conjunto de $n$ elementos tales que $(a_i-a_j)^2$ divide a $a_ia_j$ para cualesquiera subíndices $i$ y $j$; si construimos un conjunto $S$ de $n+1$ elementos que también cumple esta propiedad habremos demostrado el enunciado.

La idea clave es darse cuenta de que si $a$ y $b$ son tales que $(a-b)^2$ divide a $ab$, entonces $a+c$ y $b+c$ también cumplen esta propiedad siempre que $c$ sea un múltiplo de $ab$. Por tanto, si consideramos el producto $c=a_1\cdots a_n$, el conjunto $S_1=\{c,a_1+c,a_2+c,\ldots,a_n+c\}$ tiene $n+1$ elementos (son todos distintos) y cumple la propiedad del enunciado. Comprobémoslo:

• Tomando $a=a_i+c$ y $b=a_j+c$, se tiene que $(a-b)^2=(a_i-a_j)^2$ divide a $a_ia_j$ por hipótesis de inducción, luego también divide a $ab=a_ia_j+c(a_i+a_j)+c^2$ (ya que $c$ es múltiplo de $a_ia_j$).
• Tomando $a=c$ y $b=a_i+c$, se tiene que $(a-b)^2=a_i^2$ divide a $ab=a_ic+c^2$ ya que $a_i$ divide a $c$.

Solución. En primer lugar, si $p=2$, tenemos que $2^p+3^p=13$, que no es potencia de exponente mayor que uno. Por lo tanto, supondremos que $p$ es impar. Trabajando módulo $5$ tenemos que \[2^p+3^p=2^p+(-2)^p\equiv 2^p-2^p\equiv 0\ (\text{mód }5),\] lo que nos dice que $a$ debe ser divisible entre $5$. Si probamos que $2^p+3^p$ no es divisible entre $25$ habremos terminado (si $n\geq 2$, entonces $a^n$ sería divisible entre $25$).

Debemos evaluar $2^p+3^p$ módulo $25$, para lo que usaremos el binomio de Newton de la siguiente forma: \[2^p+3^p=2^p+(5-2)^p=2^p+\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}(-1)^k5^k2^{p-k}\equiv 2^p+5p\cdot 2^{p-1}-2^p\equiv 5p\cdot 2^{p-1}\ (\text{mód }25),\] donde hemos usado que $p$ es impar y que los términos para $k\geq 2$ son múltiplos de $25$. Ahora bien, si $p\neq 5$, esto nos dice que $2^p+3^p\not\equiv 0\ (\text{mód }25)$. Si $p=5$, entonces $2^p+3^p=32+243=275=5^2\cdot 11$ sí que es múltiplo de $25$, pero no es la potencia de ningún entero, luego el enunciado también se cumple en este caso especial.

Solución. Sea $r^2$ el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n$ y sea $s^2$ el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n-r^2$. En otras palabras, $r$ y $s$ están determinados por las desigualdades \[r^2\leq n\lt (r+1)^2,\qquad s^2\leq n-r^2\lt(s+1)^2.\] Como estamos trabajando con enteros, estas desigualdades estrictas son equivalentes a las siguientes: \[r^2\leq n\leq r^2+2r,\qquad s^2\leq n-r^2\leq s^2+2s.\] Si $n=r^2+s^2$, entonces basta tomar $N=n$. En caso contrario, tenemos que $n\leq r^2+s^2-1$, en cuyo caso tomamos $N=r^2+(s+1)^2$. Para ver que se cumple lo que queremos, observemos que:

• de la desigualdad $n-r^2\lt(s+1)^2$ se deduce que $n\lt N$;
• de la desigualdad $s^2\leq n-r^2-1$, obtenemos que $N=r^2+(s+1)^2\leq n+2s$, luego \[N\leq n+2s\leq n+2\sqrt{n-r^2}\leq 2\sqrt{2r}\leq 2\sqrt{2}\sqrt[4]{n}.\]