Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Entre los $39$ números siempre hay $20$ consecutivos $n,n+1,\ldots,n+19$ que sólo difieren en las cifras de las decenas y las unidades y de forma que la cifra de la cifra de las unidades de $n$ es cero. Si $a$ es la suma de las cifras de $n$, entonces las sumas de las cifras de $n,n+1,\ldots,n+19$ son $a,a+1,\ldots,a+9,a+1,\ldots,a+10$, respectivamente, y alguno de estos números ha de ser múltiplo de $11$.

Nota. Un ejemplo de que el resultado no es cierto para $38$ números son los números del $999981$ al $1000018$.

Solución. Veamos que la respuesta es negativa, razonando por reducción al absurdo. Si $a^2+b$ es un cuadrado perfecto, como es mayor que $a^2$, tendrá que ser $a^2+b\geq (a+1)^2$, de donde $b\geq 2a+1$. De la misma forma, si $b^2+a$ es un cuadrado perfecto, tendremos que $a\geq 2b+1\geq 4a+3\gt a$, lo cual es una contradicción.

Solución. Comenzamos observando que ninguno de los números puede ser múltiplo de 19 ya que, en tal caso, sólo uno de los dos conjuntos tendría un factor 19. Entonces, los restos módulo 19 de los números deben ser los números del 1 al 18. Si multiplicamos todos ellos, resulta $18!\equiv 18\ (\text{mod }19)$ por el teorema de Wilson (ver nota). Si existieran dichos subconjuntos disjuntos con el mismo producto, entonces $18$ sería un cuadrado módulo $19$, pero no lo es ya que \begin{align*} 1^2&\equiv 1\ (\text{mod }19),& 2^2&\equiv 4\ (\text{mod }19),& 3^2&\equiv 9\ (\text{mod }19),\\ 4^2&\equiv 16\ (\text{mod }19),& 5^2&\equiv 6\ (\text{mod }19),& 6^2&\equiv 17\ (\text{mod }19),\\ 7^2&\equiv 11\ (\text{mod }19),& 8^2&\equiv 7\ (\text{mod }19),& 9^2&\equiv 5\ (\text{mod }19),\\ 10^2&\equiv 5\ (\text{mod }19),& 11^2&\equiv 7\ (\text{mod }19),& 12^2&\equiv 11\ (\text{mod }19),\\ 13^2&\equiv 17\ (\text{mod }19),& 14^2&\equiv 6\ (\text{mod }19),& 15^2&\equiv 16\ (\text{mod }19),\\ 16^2&\equiv 9\ (\text{mod }19),& 17^2&\equiv 4\ (\text{mod }19),& 18^2&\equiv 1\ (\text{mod }19). \end{align*}

Nota. El teorema de Wilson afirma que $(p-1)!\equiv -1\ (\text{mod }p)$ para cualquier primo $p$.