Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comenzamos observando que, para cualesquiera naturales $a$ y $b$,

• si $x=a$ e $y=a+b$, entonces $x^2-xy+y^2=a^2+ab+b^2$;
• si $x=b$ e $y=a+b$, entonces también $x^2-xy+y^2=a^2+ab+b^2$.

Esto nos dice que si $a$ y $b$ están en dos subconjuntos distintos, entonces $a+b$ no puede estar en el tercero, ya que entonces $a^2+ab+b^2$ tendría que estar en los dos primeros simultáneamente, lo cual es absurdo. Esto también dice que $a-b$ no puede pertenecer al tercer conjunto por el mismo motivo.

Solución. Cualquier cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $3$. Por lo tanto, la ecuación solo es factible módulo $3$ si $a\equiv 0\ (\text{mod }3)$ y $b\equiv 0\ (\text{mod }3)$. Esto nos dice que podemos escribir $a=3x$ y $b=3y$ para ciertos $x,y\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo, llegamos a que $9x^2=18y^2+3c^2$, luego $c^2=3x^2-6y^2$ debe ser también múltiplo de $3$, es decir, existe $z\in\mathbb{Z}$ tal que $c=3z$ y llegamos a otra solución de la misma ecuación: $x^2=2y^2+3z^2$.

Vamos a ver que esto implica que $a=b=c=0$. En efecto, si alguno de los tres números $a,b,c\in\mathbb{Z}$ es no nulo, entonces podríamos haber comenzado suponiendo que la solución $(a,b,c)$ es tal que la suma $a^2+b^2+c^2\gt 0$ es lo más pequeña posible (de entre todas las soluciones no nulas habrá una que cumpla esto), pero entonces $(x,y,z)$ es una solución con \[x^2+y^2+z^2=\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)\lt a^2+b^2+c^2,\] en contradicción con el hecho de que $a^2+b^2+c^2$ es mínimo. Esto es lo que se llama técnica del descenso infinito o principio de minimalidad.

Solución. Consideremos la siguiente identidad \[3(25x+31y)-25(3x+7y)=-82y,\] que se obtiene al eliminar $x$ mediante una combinación de los dos binomios. Observemos que $-82y$ es múltiplo de 41, luego tenemos dos implicaciones:

• Si $25x+31y$ es múltiplo de 41 también lo será $25(3x+7y)$ y, como $25$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $3x+7y$.
• Si $3x+7y$ es múltiplo de 41, también lo será $3(25x+31y)$ y, como $3$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $25x+31y$.

Hemos demostrado que $25x+31y$ es múltiplo de 41 si, y sólo si, $3x+7y$ es múltiplo de 41, que es lo que se pide en el enunciado.

Nota. También se podría haber eliminado $y$ obteniendo la igualdad \[7(25x+31y)-31(3x+7y)=82x,\] y el razonamiento a partir de aquí es similar.

Solución. Observemos que si $n$ tiene $k$ cifras, entonces $n\geq 10^k$ mientras que $s+u^2\leq 9k+9^2$ (este valor máximo se corresponde con que todos las cifras de $n$ sean iguales a 9). Esto nos dice que el miembro de la derecha será en general mucho menor que el de la izquierda luego las soluciones han de ser números pequeños. Vamos a intentar formalizar esta idea, estudiando el número de cifras de $n$ de menor a mayor:

• Si $n$ es de a lo sumo dos cifras, entonces podemos escribir $n=10a+b$ con $a$ y $b$ números enteros entre 0 y 9. Entonces, $s=a+b$ y $u=b$, de donde la ecuación es equivalente a $10a+b=a+b+b^2$, es decir, $9a=b^2$. Por tanto, $b$ tiene que ser múltiplo de $3$. Tenemos varios subcasos:
  • Si $b=0$, entonces $9a=b^2=0$, luego $a=0$ y $n=0$, que no es una solución válida ya que se pide que $n$ sea un entero positivo.
  • Si $b=3$, entonces $9a=b^2=9$, luego $a=1$ y $n=13$.
  • Si $b=6$, entonces $9a=b^2=36$, luego $a=4$ y $n=46$.
  • Si $b=9$, entonces $9a=b^2=81$, luego $a=9$ y $n=99$.
• Si $n$ es de 3 cifras, entonces $n=s+u^2\leq 3\cdot 9+9^2=108$, luego los únicos posibles números son $100, 101, 102,..., 108$ y es fácil ver que ninguno de ellos cumple la condición $n=s+u^2$.
• Si $n$ tiene 4 cifras, entonces $n\geq 1000$, mientras que $s+u^2\leq 4\cdot 9+9^2=117$. Esto nos lleva a que no existe solución en este caso. Ahora bien, cada cifra adicional de $n$ aumenta el mínimo de $n$ en un factor $10$ mientras que el máximo de $s+u^2$ aumenta sólo en 9 unidades. Claramente esto nos dice que $n\gt s+u^2$ si $n$ tiene más de 4 cifras.

En resumen, los únicos enteros positivos que cumplen la condición son 13, 46 y 99.