Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos la siguiente identidad \[3(25x+31y)-25(3x+7y)=-82y,\] que se obtiene al eliminar $x$ mediante una combinación de los dos binomios. Observemos que $-82y$ es múltiplo de 41, luego tenemos dos implicaciones:

• Si $25x+31y$ es múltiplo de 41 también lo será $25(3x+7y)$ y, como $25$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $3x+7y$.
• Si $3x+7y$ es múltiplo de 41, también lo será $3(25x+31y)$ y, como $3$ y $41$ son primos entre sí, también lo será $25x+31y$.

Hemos demostrado que $25x+31y$ es múltiplo de 41 si, y sólo si, $3x+7y$ es múltiplo de 41, que es lo que se pide en el enunciado.

Nota. También se podría haber eliminado $y$ obteniendo la igualdad \[7(25x+31y)-31(3x+7y)=82x,\] y el razonamiento a partir de aquí es similar.

Solución. Observemos que si $n$ tiene $k$ cifras, entonces $n\geq 10^k$ mientras que $s+u^2\leq 9k+9^2$ (este valor máximo se corresponde con que todos las cifras de $n$ sean iguales a 9). Esto nos dice que el miembro de la derecha será en general mucho menor que el de la izquierda luego las soluciones han de ser números pequeños. Vamos a intentar formalizar esta idea, estudiando el número de cifras de $n$ de menor a mayor:

• Si $n$ es de a lo sumo dos cifras, entonces podemos escribir $n=10a+b$ con $a$ y $b$ números enteros entre 0 y 9. Entonces, $s=a+b$ y $u=b$, de donde la ecuación es equivalente a $10a+b=a+b+b^2$, es decir, $9a=b^2$. Por tanto, $b$ tiene que ser múltiplo de $3$. Tenemos varios subcasos:
  • Si $b=0$, entonces $9a=b^2=0$, luego $a=0$ y $n=0$, que no es una solución válida ya que se pide que $n$ sea un entero positivo.
  • Si $b=3$, entonces $9a=b^2=9$, luego $a=1$ y $n=13$.
  • Si $b=6$, entonces $9a=b^2=36$, luego $a=4$ y $n=46$.
  • Si $b=9$, entonces $9a=b^2=81$, luego $a=9$ y $n=99$.
• Si $n$ es de 3 cifras, entonces $n=s+u^2\leq 3\cdot 9+9^2=108$, luego los únicos posibles números son $100, 101, 102,..., 108$ y es fácil ver que ninguno de ellos cumple la condición $n=s+u^2$.
• Si $n$ tiene 4 cifras, entonces $n\geq 1000$, mientras que $s+u^2\leq 4\cdot 9+9^2=117$. Esto nos lleva a que no existe solución en este caso. Ahora bien, cada cifra adicional de $n$ aumenta el mínimo de $n$ en un factor $10$ mientras que el máximo de $s+u^2$ aumenta sólo en 9 unidades. Claramente esto nos dice que $n\gt s+u^2$ si $n$ tiene más de 4 cifras.

En resumen, los únicos enteros positivos que cumplen la condición son 13, 46 y 99.

Solución. Podemos despejar $m$ y expresarla como $m=f(n)$, siendo \[f(n)=\frac{4(n^2+1)}{n(3n-4)}.\] Esta función tiene derivada \[f'(n)=\frac{-8(n+2)(2n-1)}{(4-3 n)^2 n^2},\] que se anula en $n=-2$ y $n=\frac{1}{2}$. Analizando el signo de la derivada y teniendo también en cuenta que $f(n)$ no está definida para $n=0$ ni $n=\frac{4}{3}$, deducimos que $f(n)$ es creciente en $(-2,0)\cup(0,\frac{1}{2})$ y decreciente en $(-\infty,-2)\cup(\frac{1}{2},\frac{4}{3})\cup(\frac{4}{3},+\infty)$. Como cociente de dos polinomios cuadráticos, podemos calcular los siguientes límites como cociente de los coeficientes de mayor grado: \[\lim_{n\to-\infty}f(n)=\lim_{n\to+\infty}f(n)=\frac{4}{3}.\]

Ahora bien para $n\leq -2$, la función decrece desde el límite $\frac{4}{3}$ hasta $f(-2)=1$, lo que nos dice que para $n$ en este intervalo sólo tenemos la solución $(m,n)=(1,-2)$. Ahora comprobamos algunos valores: \begin{align*} f(-1)&=\frac{8}{7},&f(0)&\text{ no definido},&f(1)&=-8,\\ f(2)&=5,&f(3)&=\frac{8}{3},&f(4)&=\frac{17}{8}. \end{align*} Como $f(5)=\frac{104}{55}\lt 2$, deducimos que la función decrece desde este valor hasta el límite $\frac{4}{3}\gt 1$, luego no hay soluciones enteras para $n\geq 5$.

Hemos probado que $(1,-2)$, $(-8,1)$ y $(5,2)$ son las únicas soluciones.

Nota. Si sólo buscamos las soluciones positivas, hay otro truco que merece la pena comentar. Si $m=1$ ó $n=1$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}\gt 1\gt\frac{3}{4}$, luego supondremos que $m\geq 2$ y $n\geq 2$ en lo que sigue. Comenzamos probando valores:

• Si $n=2$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{4m}=\frac{3}{4}$, que tiene por solución $m=5$, luego el par $(m,n)=(5,2)$ es solución de la ecuación original.
• Si $n=3$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}=\frac{1}{3}+\frac{10}{9m}=\frac{3}{4}$, de donde $m=\frac{3}{8}$, que no es un número natural.
• Si $n=4$, entonces $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}=\frac{1}{4}+\frac{17}{16m}=\frac{3}{4}$, de donde $m=\frac{17}{8}$, que tampoco es un número natural.
• Si $n\geq 5$, como $m\geq 2$, tenemos que \[\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{mn^2}\leq\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{50}=\frac{18}{25}\lt\frac{3}{4}{,}\] luego no hay soluciones con $n\geq 5$.

Hemos probado que $(m,n)=(2,5)$ es la única solución.

Solución. Llamemos $N_0=19^{19}$ y $N_k$ al resultado de aplicar a $N_0$ la operación $k$ veces. Restando reiteradamente el mayor divisor propio del número, obtenemos la siguiente sucesión de resultados: \begin{eqnarray*} N_1&=&19^{19}-19^{18}=18\cdot 19^{18},\\ N_2&=&18\cdot 19^{18}-9\cdot 19^{18}=9\cdot 19^{18},\\ N_3&=&9\cdot 19^{18}-3\cdot 19^{18}=6\cdot 19^{18},\\ N_4&=&6\cdot 19^{18}-3\cdot 19^{18}=3\cdot 19^{18},\\ N_5&=&3\cdot 19^{18}-19^{18}=2\cdot 19^{18},\\ N_6&=&2\cdot 19^{18}-19^{18}=19^{18},... \end{eqnarray*} Vemos que en 6 pasos reducimos el exponente en una unidad, y claramente esto puede hacerse para cualquier exponente. En $18\cdot 6=108$ pasos obtendremos el número $N_{108}=19$. A partir de aquí, seguimos repitiendo el proceso, obteniendo \begin{eqnarray*} N_{109}&=&19-1=18,\\ N_{110}&=&18-9=9,\\ N_{111}&=&9-3=6,\\ N_{112}&=&6-3=3,\\ N_{113}&=&3-1=2,\\ N_{114}&=&2-1=1.\\ \end{eqnarray*} Por lo tanto, el número de veces que se ha aplicado la operación es 114.

Solución. Teniendo en cuenta que una ecuación de la forma $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ se puede escribir como $(z-x)(z-y)=z^2$, la condición del enunciado se transforma fácilmente en $rq(n-1)^2=(r+q)^2$. Como $r$ y $q$ no pueden ser cero (no se cumpliría la condición del enunciado), deducimos que \[(n-1)^2=\frac{(r+q)^2}{rq}{.}\] A esta última ecuación también puede llegarse operando directamente sobre la condición del enunciado sin dificultad. Podemos usar esta ecuación para expresar \[\frac{n-3}{n+1}=\frac{(n-3)(n+1)}{(n+1)^2}=\frac{n^2-2n-3}{(n+1)^2}=\frac{(n-1)^2-4}{(n+1)^2}=\frac{(r+q)^2-4rq}{rq(n+1)^2}=\frac{(r-q)^2(n-1)^2}{(r+q)^2(n+1)^2}\] y, por tanto, se tiene que $\frac{n-3}{n+1}$ es el cuadrado de un número racional, como queríamos probar.

Es necesario darse cuenta de que $n$ no puede ser $-1$, pues en tal caso el enunciado no se cumpliría. Por reducción al absurdo, si $n=-1$, la condición del enunciado nos dice que $\frac{1}{r+q}=0$, lo que es una contradicción.