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De esta forma, la información del enunciado nos dice que $N^2$ tiene exactamente $2005$ divisores. Si descomponemos en divisores primos $N=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ (aquí $p_1,\ldots,p_k$ son los divisores primos de $N$ y $e_1,\ldots,e_k$ sus exponentes), entonces $N^2=p_1^{2e_1}p_2^{2e_2}\cdots p_k^{2e_k}$, con lo que el número de divisores de $N^2$ es $(2e_1+1)(2e_2+1)\ldots(2e_k+1)=2005$. Como $2005=5\cdot 401$ y $401$ es primo, tenemos dos posibilidades:
Nota. Otra posible solución más directa al problema consiste en dividir ambos términos por $z$, que es siempre distinto de cero, y escribir el resultado como $(zx^2-1)(zy^2-1)=1$, de donde $zx^2-1$ y $zy^2-1$ tienen que valer $\pm 1$. De aquí es fácil llegar a las cuatro soluciones arriba descritas.
Si $x=2$ es solución, sustituyendo en la ecuación original obtenemos que $(2-a)(2-b)=1$ y, si $x=4$ es solución, entonces $(4-a)(4-b)=-1$. Si ambos valores de $x$ son soluciones, entonces $4-a$ y $2-a$ son iguales a $\pm 1$ y, como se diferencian en $2$ unidades, tiene que ser $4-a=1$ y $2-a=-1$, es decir, $a=3$. Sustituyendo $a=3$ en $(2-a)(2-b)=1$, tenemos que $2-b=-1$ y, por tanto, $b=3$. No obstante, $a=b=3$ no cumple $(4-a)(4-b)=-1$ y hemos llegado a una contradicción.