Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que un par $(a,b)$ satisface esa condición y consideremos la igualdad \[b(a^2b+b)-a(ab^2+9)=b^2-9a\] (hemos hecho una combinación de ambos números para eliminar los términos de tercer grado). Dividiendo entre $ab^2+9$, llegamos a que \[\frac{b^2-9a}{ab^2+9}\] también es un número entero. Distingamos varios casos según el signo del numerador:

• Si $b^2-9a\gt 0$, entonces claramente $ab^2+9\gt b^2\gt b^2-9a\gt 0$, lo que nos dice que dicha fracción no puede ser un número entero (pues su numerador es estrictamente menor que su denominador y son ambos números positivos). Esto prueba que este caso no puede ocurrir.
• Si $b^2-9a=0$, entonces la fracción anterior queda \[\frac{b^2-9a}{ab^2+9}=\frac{b^2-9a}{9(a^2+1)}=\frac{b}{9},\] con lo que $b$ ha de ser múltiplo de $9$ y $a=\frac{b^2}{9}$, es decir, obtenemos todos los pares de la forma $(9k^2,9k)$ para $k\in\mathbb{N}$.
• Finalmente, si $b^2-9a\lt 0$, distinguimos a la vez tres casos:
  • Si $b\geq 3$, entonces en la fracción $\frac{b^2-9a}{ab^2+9}$ el valor absoluto del numerador es menor que $9a$ y el del denominador es mayor que $9a+9$, lo que nos lleva a que dicha fracción no puede ser un número entero.
  • Si $b=2$, entonces tenemos que $\frac{b^2-9a}{ab^2+9}=\frac{4-9a}{4a+9}$. Ahora bien, \[4(4-9a)+9(4a+9)=97,\] luego si $4-9a$ es divisible entre $4a+9$, $97$ también ha de ser divisible entre $4a+9$. Como $97$ es un número primo y $4a+9\geq 13$, la única posibilidad es $4a+9=97$, que implica $a=22$. Es fácil comprobar que el par $(22,2)$ es una solución del problema.
  • Si $b=1$, entonces $\frac{b^2-9a}{ab^2+9}=\frac{1-9a}{a+9}=-9+\frac{82}{a+9}$ (en este caso hemos podido hacer la división directamente a diferencia del caso $b=2$). Por tanto, $a+9$ divide a $82=2\cdot 41$. Como $a+9\geq 10$, deducimos que las únicas posibilidades son $a+9=41$ y $a+9=82$, que dan lugar a los pares $(32,1)$ y $(73,1)$. Se comprueba que también son soluciones al problema original.

En resumen, hemos probado que los únicos pares para los que la fracción del enunciado es un número entero son $(22,2)$, $(32,1)$, $(73,1)$ y los de la forma $(9k^2,9k)$ para $k\in\mathbb{N}$.

Solución. La ecuación se puede escribir como $(x-a)(x-b)(x-3)=-1$. Por tanto, si $x$ es una solución entera, entonces $x-a$, $x-b$ y $x-3$ son números enteros que dividen a $-1$, luego han de ser iguales a $\pm 1$. En particular, de la condición $x-3=\pm 1$ deducimos que las únicas posibles raíces enteras de la ecuación son $x=2$ y $x=4$. Probaremos por reducción al absurdo que no pueden ser las dos a la vez soluciones.

Si $x=2$ es solución, sustituyendo en la ecuación original obtenemos que $(2-a)(2-b)=1$ y, si $x=4$ es solución, entonces $(4-a)(4-b)=-1$. Si ambos valores de $x$ son soluciones, entonces $4-a$ y $2-a$ son iguales a $\pm 1$ y, como se diferencian en $2$ unidades, tiene que ser $4-a=1$ y $2-a=-1$, es decir, $a=3$. Sustituyendo $a=3$ en $(2-a)(2-b)=1$, tenemos que $2-b=-1$ y, por tanto, $b=3$. No obstante, $a=b=3$ no cumple $(4-a)(4-b)=-1$ y hemos llegado a una contradicción.

Solución. Supongamos que $A$ y $B$ son dos potencias de $2$ distintas pero con los mismos dígitos (no nulos) reordenados. Vamos a llegar a una contradicción y esto dará respuesta negativa a la pregunta del enunciado. Primero observamos dos propiedades de $A$ y $B$.

• Como los dígitos tanto de $A$ como de $B$ son no nulos, ambos números han de tener el mismo número de cifras significativas. En particular, si suponemos que $A\lt B$, entonces ocurre alguna de las siguientes tres situaciones: $B=2A$ ó $B=4A$ ó $B=8A$ (observa que ambas son potencias de $2$ y $16A$ tiene siempre más cifras que $A$).
• Como los dígitos son los mismos, tenemos que $A\equiv B$ (mód $9$).

Ahora bien, como $A$ y $B$ son primos relativos con $9$ (son potencias de $2$), tenemos que $A\equiv B=2^kA$ (mod $9$) implica $1\equiv 2^k$ (mód $9$). Tanto si $k=1$ como si $k=2$ ó $k=3$ esta congruencia es falsa, lo que nos da la contradicción buscada.

Solución. Según la condición (a), podemos escribir $E(\frac{N}{3})=111\cdot a$ para cierto número natural $a$ entre $1$ y $9$. Ahora bien, el apartado (b) nos permite desarrollar $$\frac{n(n+1)}{2}=1+2+\ldots+n=111\cdot a=3\cdot 37\cdot a,$$ de forma que $n(n+1)=2\cdot 3\cdot 37\cdot a$. Por tanto, el producto $2\cdot 3\cdot 37\cdot a$ se tiene que descomponer en producto de dos números consecutivos, lo cual sólo ocurre para $a=6$ y $n=36$. Así tenemos que $E(\frac{N}{3})=666$, es decir, $666\leq\frac{N}{3}<667$. Esta desigualdad es equivalente a $1998\leq N<2001$, lo que nos asegura que $N=2000$ es la solución buscada.

Solución. Escribamos $3a-2=m^2$ para cierto entero positivo $m$. De esta definición se deduce fácilmente que $m$ no es múltiplo de $3$ y, como $a$ es impar, se tiene también que $m$ es impar. En otras palabras, $m$ es congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$. El hecho de que $a\gt 17$ se traduce en que $m^2\gt 49$. Consideremos entonces los números $$b=\frac{2(m^2-1)}{3},\qquad c=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}.$$ Es fácil probar que son enteros por ser $m$ congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$, y son positivos por ser $m\gt 49$. Además, $$c-b=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}-\frac{24(m^2-1)}{36}=\frac{(m^2-49)(m^2-1)}{36}\gt 0,$$ lo que nos dice que $b\neq c$. Veamos finalmente que cumplen la propiedad sobre los cuadrados. \begin{eqnarray} a+b&=&\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}=m^2,\\ b+c&=&\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-1}{6}\right)^2,\\ a+c&=&\frac{m^2+2}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-7}{6}\right)^2,\\ a+b+c&=&\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2+5}{6}\right)^2. \end{eqnarray}

Nota. Hemos escrito todos los resultados en función de $m^2$, aunque podríamos haberlo hecho en función de $a$ (el único motivo era que se vea de forma explícita que todas las sumas son cuadrados): \[b=2a-2,\qquad c=\frac{(a-9)(a-1)}{4},\] con lo que \[ a+b=3a-2,\quad b+c=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2,\quad a+c=\left(\frac{a-3}{2}\right)^2,\quad a+b+c=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2. \]