Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Según la condición (a), podemos escribir $E(\frac{N}{3})=111\cdot a$ para cierto número natural $a$ entre $1$ y $9$. Ahora bien, el apartado (b) nos permite desarrollar $$\frac{n(n+1)}{2}=1+2+\ldots+n=111\cdot a=3\cdot 37\cdot a,$$ de forma que $n(n+1)=2\cdot 3\cdot 37\cdot a$. Por tanto, el producto $2\cdot 3\cdot 37\cdot a$ se tiene que descomponer en producto de dos números consecutivos, lo cual sólo ocurre para $a=6$ y $n=36$. Así tenemos que $E(\frac{N}{3})=666$, es decir, $666\leq\frac{N}{3}<667$. Esta desigualdad es equivalente a $1998\leq N<2001$, lo que nos asegura que $N=2000$ es la solución buscada.

Solución. Escribamos $3a-2=m^2$ para cierto entero positivo $m$. De esta definición se deduce fácilmente que $m$ no es múltiplo de $3$ y, como $a$ es impar, se tiene también que $m$ es impar. En otras palabras, $m$ es congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$. El hecho de que $a\gt 17$ se traduce en que $m^2\gt 49$. Consideremos entonces los números $$b=\frac{2(m^2-1)}{3},\qquad c=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}.$$ Es fácil probar que son enteros por ser $m$ congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$, y son positivos por ser $m\gt 49$. Además, $$c-b=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}-\frac{24(m^2-1)}{36}=\frac{(m^2-49)(m^2-1)}{36}\gt 0,$$ lo que nos dice que $b\neq c$. Veamos finalmente que cumplen la propiedad sobre los cuadrados. \begin{eqnarray} a+b&=&\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}=m^2,\\ b+c&=&\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-1}{6}\right)^2,\\ a+c&=&\frac{m^2+2}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-7}{6}\right)^2,\\ a+b+c&=&\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2+5}{6}\right)^2. \end{eqnarray}

Nota. Hemos escrito todos los resultados en función de $m^2$, aunque podríamos haberlo hecho en función de $a$ (el único motivo era que se vea de forma explícita que todas las sumas son cuadrados): \[b=2a-2,\qquad c=\frac{(a-9)(a-1)}{4},\] con lo que \[ a+b=3a-2,\quad b+c=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2,\quad a+c=\left(\frac{a-3}{2}\right)^2,\quad a+b+c=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2. \]

Solución. Para $n=0$, obtenemos que $2^n+12^n+2011^n=3$ no es un cuadrado perfecto. Para $n=1$, llegamos a que $2^n+12^n+2011^n=2025=45^2$. Ahora bien, para $n\geq 2$, tomando resto módulo $3$, tenemos que $2^n\equiv 1$ (mód $3$) si $n$ es par y $2^n\equiv 2$ (mód $3$) si $n$ es impar, mientras que $12^n$ siempre es congruente con $0$ y $2011^n$ siempre es congruente con $1$. Deducimos así que $2^n+12^n+2011^n\equiv 2$ (mód $3$) si $n$ es par y $2^n+12^n+2011^n\equiv 1$ (mód $3$) si $n$ es impar. Como todos los cuadrados perfectos son congruentes con $0$ ó con $1$ módulo $3$, tenemos que si $2^n+12^n+2011^n$ es un cuadrado perfecto, entonces $n$ ha de ser impar.

Consideremos ahora restos módulo $4$. Si $n\geq 2$, entonces tanto $2^n$ como $12^n$ son múltiplos de $4$, luego $2^n+12^n+2011^n\equiv 3^n$ (mód $4$), que es congruente con $1$ si $n$ es par y con $3$ si $n$ es impar. Como todo cuadrado perfecto es congruente con $0$ ó con $1$ módulo $4$, deducimos que $n$ ha de ser par. Por lo probado en el párrafo anterior, no existen valores de $n\geq 2$ para los que $2^n+12^n+2011^n$ es un cuadrado perfecto. La única solución del problema es $n=1$.

Solución. Observemos en primer lugar que $$n^4-4n^3+22n^2-36n+18=(n^2-2n+9)^2-63.$$ Si el miembro de la derecha es un cuadrado perfecto, entonces tenemos dos cuadrados que se diferencian en $63$ unidades. Esta relación la podemos escribir como $a^2=(a+k)^2-63$ para ciertos números enteros no negativos $a,k$, ya que $n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ es siempre menor que $(n^2-2n+9)^2$.

La ecuación $a^2=(a+k)^2-63$ puede escribirse como $(2a+k)k=63$, de donde $k$ y $2a+k$ han de ser divisores complementarios de $63=3^2\cdot 7$. Tenemos seis posibilidades:

• Si $k=1$ y $2a+k=63$, entonces $a=31$ y la relación $n^2-2n+9=a+k=32$ nos dice que $n$ es una solución de la ecuación $n^2-2n-23=0$, pero esta ecuación no tiene soluciones enteras.
• Si $k=3$ y $2a+k=21$, entonces $a=9$ y tenemos la ecuación $n^2-2n+9=a+k=12$, que tiene por soluciones $n=-1$ y $n=3$.
• Si $k=7$ y $2a+k=9$, entonces $a=1$ y tenemos la ecuación $n^2-2n+9=a+k=8$, que tiene solución entera doble $n=1$.
• Si $k=9$ ó $k=21$ ó $k=63$, entonces obtenemos un valor negativo de $a$, contradiciendo que habíamos supuesto que $a,k\geq 0$, luego descartamos estas opciones (realmente se vuelven a obtener las mismas soluciones dadas en los tres puntos anteriores).

Deducimos que los únicos valores enteros de $n$ para los que el polinomio del enunciado es un cuadrado perfecto son $n=-1$, $n=1$ y $n=3$.

Solución. Usando la condición $ad=b^2+bc+c^2$ y manipulando, llegamos a que \begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2+d^2&=&a^2+b^2+bc+c^2+d^2-bc\\ &=&a^2+ad+d^2-bc\\ &=&a^2+2ad+d^2-bc-ad\\ &=&(a+d)^2-bc-b^2-bc-c^2\\ &=&(a+d)^2-(b+c)^2\\ &=&(a+d+b+c)(a+d-b-c). \end{eqnarray*} Ahora bien, si $a,b,c,d$ no son todos iguales a $1$, está claro que $1\lt a+b+c+d\lt a^2+b^2+c^2+d^2$, luego $a+b+c+d$ es un factor propio de $a^2+b^2+c^2+d^2$ y, por tanto, $a^2+b^2+c^2+d^2$ es compuesto. Si $a=b=c=d=1$, entonces $a^2+b^2+c^2+d^2=4$ también es compuesto.