Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El número en cuestión es 8059981865. Aunque pueden encontrarse sin demasiado problema los factores 5 y 13 (y quizás el factor 31), la fuerza bruta no es aconsejable en este caso, por lo que probaremos un método indirecto. Llamemos $n=2007$ y escribamos \[N= (n-12)n(n+6)+320=n^3-6n^2-72n+320=(n+8)(n-4)(n-10).\] En otras palabras, hemos escrito $N$ como un polinomio en $n$ y lo hemos factorizado como polinomio. Volviendo a escribir $n=2007$, tenemos que $N=2015\cdot2003\cdot 1997$. Los números $2003$ y $1997$ son primos como puede comprobarse fácilmente, mientras que $2015=5\cdot 13\cdot 31$. Obtenemos finalmente que \[N=5\cdot 13\cdot 31\cdot 1997\cdot 2003.\]

Solución. Escribamos $p=a+c+u$ y $q=b+d+v$ para ciertos enteros $u$ y $v$. La desigualdad $\frac{a}{b}\gt\frac{p}{q}=\frac{a+c+u}{b+d+v}$ nos dice que $ab+ad+av\gt ab+bc+bu=ab+ad-1+bu$. Simplificando, llegamos a que $av\gt bu-1$ y, como estamos trabajando con enteros, tenemos que $av\geq bu$. De la misma forma, usando la desigualdad $\frac{p}{q}\gt\frac{c}{d}$ del enunciado se llega a que $du\geq cv$. Despejando $u$ en estas desigualdades (ya que $b$ y $d$ son positivos) tenemos finalmente que \[\frac{a}{b}v\geq u\geq\frac{c}{d} v.\] En primer lugar, observamos que si $v<0$ (es decir, $q\lt b+d$) entonces llegamos a una contradicción ya que $\frac{a}{b}v<\frac{c}{d}v$ y las desigualdades anteriores no se satisfacen para ningún entero $u$. Por tanto, $v\geq 0$ y tenemos probado el apartado (a).

Finalmente, si $q=b+d$, entonces $v=0$, luego las desigualdades arriba probadas nos dicen que $0\geq u\geq 0$ y, por tanto, $u=0$ y $p=a+c$, demostrando así el apartado (b).

Solución. Vamos a probar que la respuesta es afirmativa. Para ello, observamos que el problema es equivalente a determinar si existen $n,a\in\mathbb{N_0}$ tales que $3n^2+2n+2=a^2$. Trabajando módulo 8, todo cuadrado perfecto es congruente con $0$, con $1$ ó con $4$, para lo que será suficiente comprobar que $3n^2+2n+2$ no es congruente con ninguno de estos tres números módulo $8$. Usando las propiedades de las congruencias, tenemos que

• Si $n\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 4\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 5\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 6\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 8)$.
• Si $n\equiv 7\ (\mathrm{mod}\ 8)$, entonces $3n^2+2n+2\equiv 3\ (\mathrm{mod}\ 8)$.

Por tanto, $3n^2+2n+2$ no es congruente con $0$, $1$ ó $4$ para ningún valor de $n\in\mathbb{Z}$ y hemos terminado.

Solución. Podemos suponer que $a>b$ y quitar el valor absoluto. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que $a-b\lt\sqrt{4n-3}$, de donde deducimos que $$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab\lt 4n-3+4(1+n^2)=(2n+1)^2$$ Ya que todos estos números son positivos, deducimos que $a+b\lt 2n+1$, esto es, $a+b\leq 2n$. Usando entonces la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica deducimos que $$1+n^2=ab\lt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{4n^2}{4}=n^2{,}$$ lo cual es una contradicción.

Supongamos ahora que se da la igualdad, con lo que tenemos dos igualdades para trabajar: $ab=1+n^2$ y $(a-b)^2=4n-3$. Entonces, $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=(2n+1)^2$, luego $a+b=2n+1$. Por otro lado, tenemos que $4n-3$ tiene que ser un cuadrado impar, pongamos $(2m+1)^2$ para cierto entero $m$, de donde $n=m^2+m+1$. Finalmente, de las ecuaciones $a+b=2n+1$ y $a-b=\sqrt{4n-3}$, despejamos $a$ y $b$ en función de $m$. Tenemos así que \begin{eqnarray*} n&=&m^2+m+1\\ a&=&m^2+2m+2\\ b&=&m^2+1 \end{eqnarray*} para cierto entero $m\geq 0$. Como estas soluciones cumplen la igualdad para todo $m$, deducimos que son las únicas.

Solución. Observemos que si $n$ no es una potencia de $3$, entonces $n=ab$, siendo $a\gt 1$ un número que no es múltiplo de $3$. Tomando $x=2^b$, podemos expresar el número del enunciado como $4^n+2^n+1=x^{2a}+x^a+1$. El resto de la solución se centrará en ver que si $a$ no es múltiplo de $3$, entonces $x^{2a}+x^a+1$ es divisible (como polinomio) entre $x^2+x+1$. Esto se debe a que tenemos que $1\lt x^2+x+1\lt x^{2a}+x^a+1$, luego habremos encontrado un factor no trivial de $4^n+2^n+1=x^{2a}+x^a+1$ y, por tanto, este número será compuesto.

Hay varias formas de ver que $x^2+x+1$ es un factor de $x^{2a}+x^a+1$:

1. La primera es haciendo la división euclídea con un poco de pericia.
2. La segunda es encontrando otro polinomio $p(x)$ tal que $x^{2a}+x^a+1=(x^2+x+1)\cdot p(x)$, lo cual no es muy difícil después de probar unos cuantos casos.
3. La tercera forma es observar que $x^2+x+1$ tiene por raíces complejas $w_1=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $w_2=\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$, que cumplen las relaciones $w_1^2=w_2$, $w_2^2=w_1$ y $w_1^3=w_2^3=1$ (son raíces cúbicas de la unidad). Por tanto, \[w_i^{2a}+w_i^a+1=1+w_1+w_2=1-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=0,\] ya que $w_i^{2a}$ y $w_i^a$ son los números $w_1$ y $w_2$ en algún orden (y aquí estamos usando que $a$ no es múltiplo de $3$). Así hemos probado que $w_1$ y $w_2$ son también raíces de $x^{2a}+x^a+1$, con lo que $x^2+x+1$ divide a este polinomio y hemos terminado.