Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada número de cuatro cifras $\overline{abcd}$, demostrar que $S=\overline{abcd}-\overline{dcba}$ es múltiplo de $37$ si, y solo si, las dos cifras centrales del número $\overline{abcd}$ son iguales.

Nota. En este problema, $\overline{abcd}$ denota al entero de cuatro cifras en que $a$ son las unidades de millar, $b$ las centenas, $c$ las decenas y $a$ las unidades.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$, $P(n)$ divide a $a_1^n+a_2^n+\ldots+a_{2019}^n$. Demuestra que $P$ es un polinomio constante.

Determinar todos los enteros $n\geq 1$ que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos.

Un conjunto $X$ de enteros positivos es ibérico si $X$ es un subconjunto de $\{2,3,4,\ldots,2018\}$ y, siempre que $m$ y $n$ pertenezcan a $X$, entonces $\mathrm{mcd}(m,n)$ pertenece también a $X$. Un conjunto ibérico es olímpico si no está contenido en ningún otro conjunto ibérico. Encontrar todos los conjuntos ibéricos olímpicos que contienen el número $33$.

Sean $a$ y $b$ dos números positivos primos entre sí. Se dice que un entero positivo $n$ es débil si no puede ser escrito en la forma $n=ax+by$ para algunos enteros $x$ e $y$ no negativos. Probar que si $n\lt\frac{ab}{6}$ es débil, entonces existe un entero $k\geq 2$ tal que $kn$ también es débil.