Problema 160
Supongamos que $a,b,c\in\mathbb{N}$ son números naturales que no tienen factores comunes y cumplen que
\[a=\frac{bc}{c-b}.\]
Demostrar que $a-b$ es un cuadrado perfecto.
Solución. Observemos que la condición del enunciado puede reescribirse como
\[(a+c)(a-b)=a^2.\]
Si probamos que $a+c$ y $a-b$ son primos entre sí, entonces tienen que ser cuadrados perfectos ya que son positivos (¿por qué?) y al multiplicarlos obtenemos un cuadrado perfecto. Razonando por reducción al absurdo, si $a+c$ y $a-b$ tuvieran algún factor primo común $p$, entonces la condición $(a+c)(a-b)=a^2$ nos dice que $p$ divide a $a$. Si $p$ divide a los números $a$, $a+c$ y $a-b$, entonces también divide a $c=(a+c)-a$ y $b=a-(a-b)$, de donde $p$ es un factor primo común a $a$, $b$ y $c$, lo cual es una contradicción.
Nota. Esto mismo prueba que $a+c$ es un cuadrado perfecto. Por otro lado, la condición del enunciado también se escribe como $(c-b)(a-b)=b^2$, lo que nos dice que $b-c$ es otro cuadrado perfecto. Además, como $a-b$ y $c-b$ son cuadrados perfectos (y, en particular, positivos), tenemos que $a>c>b$.