Solución. Consideremos la descomposición
\[n^4+6n^3+11n^2+3n+31=(n^2+3n+1)^2-3(n-10).\]
Es evidente que para $n=10$ tenemos un cuadrado perfecto. También puede comprobarse (caso por caso) que, para $n\lt 10$ no es un cuadrado perfecto, luego nos centraremos en el caso $n\gt 10$, donde tenemos que $3(n-10)\gt 0$, y vamos a ver que no puede ser un cuadrado perfecto. Razonando por reducción al absurdo, si para $n\gt 10$ tuviéramos un cuadrado perfecto, existiría $k\in\mathbb{N}$, $k\lt n^2+3n+1$ tal que
\begin{eqnarray*}
(n^2+3n+1)^2-3(n-10)&=&(n^2+3n+1-k)^2\\
&=&(n^2+3n+1)^2-(2kn^2+6kn+2k-k^2)
\end{eqnarray*}
y, por tanto, habrá de cumplirse que $2kn^2+6kn+2k-k^2=3(n-10)$. Puede comprobarse fácilmente que el término de la izquierda es creciente en $k$ para $1\leq k\lt n^2+3n+1$ luego si probamos que $2kn^2+6kn+2k-k^2\gt 3(n-10)$ para $k=1$ (es decir, $2n^2+6n+3\gt 3(n-10)$) y para todo $n\gt 10$, esta desigualdad estricta se extenderá para todo valor de $k\in[1,n^2+3n+1[$ y habremos llegado a la contradicción buscada. Ahora bien, esto es inmediato puesto que la desigualdad a probar se traduce en demostrar que $2n^2+3n+33\gt 0$ para todo $n\gt 10$.
Deducimos así que el único valor para el que el polinomio es un cuadrado perfecto es $n=10$.