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Es obvio que los únicos números que al elevarlos al cubo su expresión decimal termina en $1$ son los que de por sí tienen la cifra de las unidades igual a $1$. Ahora bien, si queremos que la cifra de las decenas del cubo también sea $1$, ésta dependerá sólo de las cifras de las decenas y las unidades del número original y, haciendo la multiplicación con el algoritmo usual y poniendo una cifra indeterminada para las decenas, es fácil ver que tiene que ser $7$ para que el cubo termine en $11$. Repitiendo el proceso, se deduce que la de las centenas tiene que ser $4$.
Nota. Es curioso observar que, repitiendo el proceso, podemos llegar a un número que al cubo termine en tantas unos como deseemos. Esto no ocurre con otras potencias distintas del cubo en general.
Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.