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Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
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Retos UJA
Problema 113
Hallar todos los números enteros positivos que son menores que $1000$ y que cumplen que el cubo de la suma de sus cifras es igual al cuadrado del dicho entero.
pistasolución 1info
Pista. Observa que el número tiene que ser un cubo perfecto y, entre $1$ y $999$, no hay tantos cubos perfectos.
Solución. Un número que cumpla dicha condición cumple que su cuadrado es un cubo perfecto luego el número en sí ha de ser un cubo perfecto (todos los exponentes en su descomposición de su cuadrado en factores primos han de ser múltiplos de $3$ luego los del propio número también). Como tiene que ser menor que $1000$, tenemos las posibilidades $1$, $8$, $27$, $64$, $125$, $216$, $343$, $512$ y $729$. Además, por el mismo motivo, la suma de sus cifras ha de ser un cuadrado perfecto luego de estos nos quedan $1$, $27$ y $216$, de los cuales sólo $1$ y $27$ cumplen la condición buscada.
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Problema 104
Partiendo de dos números naturales $a$ y $b$, repetimos el siguiente proceso: al mayor le restamos el menor y nos quedamos con el menor y con la diferencia. Demostrar que llegará un momento en el los dos números obtenidos serán iguales y determinar esos números.
pistasolución 1info
Pista. ¿Cómo podrías relacionar esto con el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor?
Solución. Si $a=b$, entonces está claro el resultado. Supongamos entonces que $a>b$ y dividamos $a$ entre $b$, obteniendo $a=bq+r$, donde $0\leq r\lt b$ es el resto de la división. Repitiendo el proceso del enunciado, pasaremos de $\{a,b\}$ a $\{a-b,b\}$, luego a $\{a-2b,b\}$ y así hasta $\{a-qb,b\}$, es decir, $\{b,r\}$. Otra forma de decir esto es que tras un número de pasos llegaremos a quedarnos con el menor de los números y el resto de la división. Repitiendo esto lo que estamos haciendo es el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor, luego llegaremos a que uno de los números se acabará anulando. En el paso previo, los dos números serán iguales e iguales al máximo común divisor de $a$ y $b$.
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Problema 103
Encontrar todos los números naturales \(n\in\mathbb{N}\) tales que \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\).
pistasolución 1info
Pista. Demostrar que, si esto ocurre, entonces \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\).
Solución. Observemos en primer lugar que \[3(3^{n-1}+5^{n-1})=3^n+3\cdot 5^n<3^n+5^n<5\cdot 3^{n-1}+5^n=5(3^{n-1}+5^{n-1})\] luego, si \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\), entonces tiene que ser \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\). Ahora bien, esto nos lleva a que \(5^n-4\cdot 5^{n-1}=4\cdot 3^{n-1}-3^n\), es decir, \(3^{n-1}=5^{n-1}\), igualdad que sólo se tiene para \(n=1\). Deducimos que el único natural para el que se cumple es \(n=1\) (observemos que, en tal caso, \(3^n+5^n=8\) y \(3^{n-1}+5^{n-1}=2\)).
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Problema 96
¿Existe algún número natural tal que al elevarlo al cubo su expresión decimal termine en $111$?
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Pista. ¿Cuál debe ser la cifra de las unidades del número para que la de su cubo sea 1? ¿Y la de las decenas para que el cubo termine en 11?
Solución. La respuesta es afirmativa y un ejemplo es el 471, que cumple que $471^3=104487111$. Veamos cómo obtener este resultado.

Es obvio que los únicos números que al elevarlos al cubo su expresión decimal termina en $1$ son los que de por sí tienen la cifra de las unidades igual a $1$. Ahora bien, si queremos que la cifra de las decenas del cubo también sea $1$, ésta dependerá sólo de las cifras de las decenas y las unidades del número original y, haciendo la multiplicación con el algoritmo usual y poniendo una cifra indeterminada para las decenas, es fácil ver que tiene que ser $7$ para que el cubo termine en $11$. Repitiendo el proceso, se deduce que la de las centenas tiene que ser $4$.

Nota. Es curioso observar que, repitiendo el proceso, podemos llegar a un número que al cubo termine en tantas unos como deseemos. Esto no ocurre con otras potencias distintas del cubo en general.

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Problema 94
¿Cuál es el menor valor positivo posible de $36^m-5^n$, siendo $m$ y $n$ números naturales?
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Pista. ¿Cuáles pueden ser las cifras de las unidades del número $36^m-5^n$?
Solución. Observemos que la expresión decimal de $36^m$ siempre termina en $6$ mientras que la de $5^n$ siempre lo hace en $5$ luego $36^m-5^n$ siempre termina en $1$ independientemente de los valores de $m$ y $n$. Además, para $m=1$ y $n=2$, el resultado es $11$ luego si descartamos que pueda ocurrir $36^m-5^n=1$, habremos terminado y la respuesta será $11$.

Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.

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