Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribamos $2x+1=n^2$ para cierto entero positivo $n$. El siguiente cuadrado perfecto es $(n+1)^2=n^2+2n+1=2x+2n+2$, luego la condición de que los siguientes $x+1$ números no contengan un cuadrado, se puede escribir como $3x+2\lt 2x+2n+2$, es decir, $x\lt 2n$. Por lo tanto, tenemos que $n^2=2x+1\lt 4n+1$, o equivalentemente $n^2-4n-1\lt 0$. Resolviendo la igualdad, se llega fácilmente a que esta inecuación equivale a que $2-\sqrt{5}\lt n\lt 2+\sqrt{5}\approx 4.2$. Como $n$ tiene que ser un número impar (su cuadrado es impar) y positivo, tenemos solo las posibilidades $n=1$ y $n=3$. Tenemos que descartar también $n=1$ puesto que nos daría $x=0$, que no es positivo.

Comprobamos finalmente que $n=3$ sí es válido ya que nos da $x=4$ y entre los números entre $2x+2=10$ y $3x+2=14$ efectivamente no hay cuadrados perfectos. De esta forma, hemos probado que $x=4$ es la única solución al problema.

Solución. Usaremos la relación $DM=ab$ para escribir \begin{align*} D^2+M^2-a^2-b^2&=D^2-\frac{a^2b^2}{D^2}-a^2-b^2\\ &=\frac{D^4+a^2b^2-a^2D^2-b^2D^2}{D^2}\\ &=\frac{(a^2-D^2)(b^2-D^2)}{D^2}\geq 0. \end{align*} Aquí hemos usado que cualquier número es mayor o igual que un divisor suyo (en este caso, el máximo común divisor $D$ con el otro número). De la desigualdad anterior se deduce claramente la del enunciado.

Nota. La igualdad se alcanza sólo cuando $a=D$ o $b=D$, es decir, cuando $b$ es un múltiplo de $a$ o $a$ es un múltiplo de $b$.