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Entre los diez números consecutivos hay siempre cinco números que son pares, dos que son múltiplos de 5 y uno que es múltiplo de 10: esto nos da un total de seis números que no pueden ser primos relativos con los demás (justamente los que acaban en 0, 2, 4, 5, 6 y 8). Ahora bien, a lo sumo hay cuatro de los diez números que son múltiplos de 3 y a lo sumo dos de ellos son impares y, por otro lado, a lo sumo hay dos múltiplos de 7 entre los diez números y a lo sumo uno de ellos es impar. Esto nos dice que como mucho hay 9 números que comparten alguno de los factores $\{2,3,5,7\}$ con algún otro número y, por tanto, hay al menos un número cuyo menor factor primo es mayor o igual que 11 (aquí es fundamental que el $1$ no sea uno de los números, caso que hemos excluído al principio). Es obvio que este número es primo relativo con todos los demás.
Es bien sabido que la suma de las cifras tiene el mismo resto que el propio número módulo $9$ luego si llamamos $r$ a dicho resto, ha de cumplirse que $r\equiv r^3\ (\text{mód }9)$, es decir, $r\equiv -1$, $r\equiv 0$ ó $r\equiv 1\ (\text{mód }9)$. Esto nos lleva a que el número es el cubo de 10, 17, 18 ó 19. Probando cada uno de estos cuatro casos llegamos a que los únicos que cumplen la condición son $17^3=4913$ y $18^3=5832$.