Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La mejor forma de demostrar esta afirmación es mostrando un ejemplo de \(n\) números consecutivos que sean compuestos. Una posible opción es \[(n+1)!+2,\ (n+1)!+3,\ (n+1)!+4,\ \ldots,\ (n+1)!+(n+1)\] ya que \((n+1)!+k\) es divisible por \(k\) si \(k\) está comprendido entre \(2\) y \(n+1\).

Solución. En el caso en que \(n\) sea impar, consideremos el desarrollo \[a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\ldots-ab^{n-2}+b^{n-1})\] que nos dice que \(a^n+b^n\) es divisible por \(a+b\) y, por consiguiente, \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)=a+b\). Vamos a centrarnos ahora en el caso en que \(n\) es par y comencemos con el caso \(n=2\): como \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\), si \(d\) es un número que divide a \(a+b\) y \(a^2+b^2\), se tiene que \(d\) divide a \(2ab\). Si \(d\) tuviera factores en común con \(a\), entonces estos factores también serían comunes a \(b=(a+b)-a\), contradiciendo que \(\text{mcd}(a,b)=1\) luego \(\text{mcd}(d,a)=1\) y, por la misma razón \(\text{mcd}(d,b)=1\), luego necesariamente \(d\) divide a \(2\). Así hemos probado que las únicas posibilidades para \(\text{mcd}(a+b,a^2+b^2)\) son \(1\) y \(2\). En general, tenemos que \[a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})\] luego si \(d\) es un factor común a \(a^n+b^n\) y a \(a+b\), entonces divide a \(ab(a^{n-2}+b^{n-2})\). Como \(\text{mcd}(a,d)=\text{mcd}(b,d)=1\) (por el mismo motivo que en el caso \(n=2\)), \(d\) tiene que dividir a \(a^{n-2}+b^{n-2}\) y esto prueba que \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)\) divide a \(\text{mcd}(a+b,a^{n-2}+b^{n-2})\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Como hemos visto que \(\text{mcd}(a+b,a^2+b^2)\leq 2\), deducimos que \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)\leq 2\) para todo \(n\in\mathbb{N}\) par. Concretamente, \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)=1\) si \(a+b\) es impar y \(\text{mcd}(a+b,a^n+b^n)=2\) si \(a+b\) es par.

Solución. Supongamos que $m,n\in\mathbb{N}$ cumplen la ecuación. Entonces $n!=(m!-1)^2-1=m!(m!-2)$, de donde deducimos que $2\lt m\lt n$ y, por tanto, podemos simplificar factores y nos queda \[n(n-1)\cdots(m+2)(m+1)=m!-2.\] El miembro de la derecha no es múltiplo de $3$ ya que $m!$ sí lo es, luego en el miembro de la izquierda puede haber dos factores como mucho, lo que nos lleva a dos posibilidades: $n=m+1$ y $n=m+2$. Si $n=m+1$, entonces $m+1=m!-2$ (o bien $m+3=m!$) cuya única solución es $m=3$ que nos lleva a $n=4$. Si $n=m+2$, entonces $(m+2)(m+1)=m!-2$ luego $m(m+2)=m!-4$ de donde $m$ divide a $4$ y, como $m\gt 2$, tenemos que $m=4$, que no cumple la ecuación. En resumen, hemos probado que la única solución es $(m,n)=(3,4)$.

Solución. Dado que $5$ y $64$ son primos entre sí, el teorema de Euler nos asegura que $5^{\varphi(64)}=5^{32}\equiv 1\ (\text{mód }64)$ luego $n=32$ es un número que cumple la condición del enunciado (aquí $\varphi(n)$ representa la función de Euler que indica cuántos números enteros entre $1$ y $n$ son primos relativos con $n$). Si llamamos $a$ al número que se pide en el enunciado, $a$ tiene que ser un divisor de $32$ ya que, en caso contrario, si llamamos $d=\text{mcd}(a,32)$, se tiene que existen $u,v\in\mathbb{N}$ tales que $d=au-32v$ según la identidad de Bézout luego $5^d(5^{32})^v=(5^a)^u$. Tomando restos módulo $64$ tenemos que $5^d\ \equiv 1\ (\text{mód }64)$ pero si $a$ no es un divisor de $32$, entonces $d\lt a$ lo que contradice que $a$ es el mínimo que cumple esta propiedad. Esto prueba que el número buscado es una potencia de $2$ y podemos desarrollar \[5^{2^k}-1=(5-1)(5+1)(5^2+1)\cdots(5^{2^{k-1}}+1)\] Ahora observemos que $5^m+1\ \equiv 2\ (\text{mód }4)$ luego cada factor de la forma $5^{2^j}+1$ es múltiplo de $2$ pero no de $4$ y el exponente de $2$ en el miembro de la derecha es $k+2$. Como queremos que sea divisible por $64$, tendrá que ser $k+2\geq 6$ luego $k\geq 4$ y, por tanto, $n=2^4=16$ es el menor número que cumple la propiedad.

Solución. Es fácil ver que para \(n=12\) se tiene que \(2^{11}+2^8+2^{12}=(2^4+2^6)^2\) y se puede comprobar (caso por caso) que para \(n\leq 8\) el número \(2^{11}+2^{8}+2^n\) no es un cuadrado perfecto. Vamos a ver que para \(n\geq9\), el único valor para el que es cuadrado perfecto es \(n=12\). En efecto, si escribimos \(n=m+8\) para cierto \(m\in\mathbb{N}\), tenemos que \(2^{11}+2^{8}+2^n=2^8(2^m+9)\) luego será suficiente ver cuándo \(2^m+9\) es un cuadrado perfecto, es decir, encontrar las soluciones naturales de la ecuación \(2^m+9=a^2\). Observemos que podemos transformar esta ecuación y escribirla como \(2^m=a^2-9=(a-3)(a+3)\) lo que nos dice que \(a-3\) y \(a+3\) tienen que ser potencias de \(2\). Como las únicas potencias de \(2\) que se diferencian en seis unidades son \(2\) y \(8\), tiene que cumplirse que \(a-3=2\) y \(a+3=8\) luego tenemos que \(a=5, m=4\) es la única solución de la ecuación y, por tanto, \(n=m+4=12\) es el único número natural para el que la cantidad el enunciado es un cuadrado perfecto.