Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $p$ un número primo impar y sea \[S_q=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\ldots+\frac{1}{q(q+1)(q+2)},\] donde $q=\frac{3p-5}{2}$. Escribimos $\frac{1}{p}-2S_q$ en la forma $\frac{m}{n}$ siendo $m$ y $n$ enteros. Demostrar que $m\equiv n\ (\text{mod }p)$, es decir, $m$ y $n$ dan el mismo resto al ser divididos por $p$.

Determinar todos los números naturales $n$ para los que existe algún número natural $m$ verificando simultáneamente las siguientes dos propiedades:

• El número $m$ tiene al menos dos cifras (en base 10), todas son distintas y ninguna es $0$.
• El número $m$ es múltiplo de $n$ y cualquier reordenación de sus cifras da lugar a un múltiplo de $n$.

Probar que hay infinitos números primos cuyo resto al dividirlos entre $3$ es $2$.

Describir todas las soluciones enteras positivas $(m,n)$ de la ecuación \[8m-7=n^2\] De entre todas las soluciones, calcular el menor valor de $m$ (si existe) mayor que $1959$.

Sean $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots,a_k$ dígitos. Probar que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1,a_2,\ldots,a_k,b_1,b_2,\ldots,b_k$, para ciertos dígitos $b_1,b_2,\ldots,b_k$.