Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Veamos en primer lugar que uno de los primos $p,q,r$ tiene que ser igual a $2$. Por reducción al absurdo, si los tres son impares, serán congruentes con $1$ o $3$ módulo $4$. Si los tres son congruentes con $1$ o los tres son congruentes con $3$, entonces $pq+qr+rp\equiv 1+1+1=3\ (\text{mod }4)$. También se tiene que si sólo uno o dos de ellos son congruentes con $1$, entonces $pq+qr+rp\equiv 1+3+3=3\ (\text{mod }4)$. Sin embargo, se tiene que $12k+1\equiv 1\ (\text{mod }4)$, lo cual es una contradicción.

Supongamos sin perder generalidad que $r=2$, luego la ecuación queda $pq+2p+2q=12k+1$. Vamos a probar ahora que uno de los primos $p,q$ es igual a $3$. De nuevo por reducción al absurdo, si $p$ y $q$ son congruentes con $1$ o con $2$ módulo $3$. Entonces, es fácil ver que $pq+2p+2q\equiv 0\ (\text{mod }3)$ si $p\equiv q\equiv 2$ o bien $pq+2p+2q\equiv 2\ (\text{mod }3)$ en caso contrario. No obstante, se tiene que $12k+1\equiv 1\ (\text{mod }3)$.

Podemos suponer entonces que $q=3$ sin perder generalidad y la ecuación original nos queda $5p+5=12k$. Como $k$ es primo y el miembro de la izquierda es múltiplo de $5$, tiene que ser $k=5$. Esto nos da $p=11$. Concluimos que las única posibilidad es que $p,q,r$ sean los primos $2,3,11$ (en cualquier orden) y $k=5$.