Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Veamos en primer lugar que uno de los primos $p,q,r$ tiene que ser igual a $2$. Por reducción al absurdo, si los tres son impares, serán congruentes con $1$ o $3$ módulo $4$. Si los tres son congruentes con $1$ o los tres son congruentes con $3$, entonces $pq+qr+rp\equiv 1+1+1=3\ (\text{mod }4)$. También se tiene que si sólo uno o dos de ellos son congruentes con $1$, entonces $pq+qr+rp\equiv 1+3+3=3\ (\text{mod }4)$. Sin embargo, se tiene que $12k+1\equiv 1\ (\text{mod }4)$, lo cual es una contradicción.

Supongamos sin perder generalidad que $r=2$, luego la ecuación queda $pq+2p+2q=12k+1$. Vamos a probar ahora que uno de los primos $p,q$ es igual a $3$. De nuevo por reducción al absurdo, si $p$ y $q$ son congruentes con $1$ o con $2$ módulo $3$. Entonces, es fácil ver que $pq+2p+2q\equiv 0\ (\text{mod }3)$ si $p\equiv q\equiv 2$ o bien $pq+2p+2q\equiv 2\ (\text{mod }3)$ en caso contrario. No obstante, se tiene que $12k+1\equiv 1\ (\text{mod }3)$.

Podemos suponer entonces que $q=3$ sin perder generalidad y la ecuación original nos queda $5p+5=12k$. Como $k$ es primo y el miembro de la izquierda es múltiplo de $5$, tiene que ser $k=5$. Esto nos da $p=11$. Concluimos que las única posibilidad es que $p,q,r$ sean los primos $2,3,11$ (en cualquier orden) y $k=5$.

Solución. Es bien conocido que $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ para cualquier entero positivo $k$, luego podemos escribir \begin{align*} T_nT_{n+1}\cdots T_{n+15}&=\frac{n(n+1)^2(n+2)^2\cdots(n+15)^2(n+16)}{2^{16}}\\ &=n(n+16)\cdot \left(\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+15)}{2^{8}}\right)^2 \end{align*} La fracción anterior con denominador $2^8$ es un número entero ya que en su numerador habrá al menos siete factores pares y más de uno múltiplo de $4$. Por tanto, el problema se reduce a encontrar los naturales $n$ tales que $n(n+16)=a^2$ para cierto entero $a$. Completando el cuadrado, podemos escribir esta ecuación como $(n+8)^2-a^2=64$ o bien $(n+8-a)(n+8+a)=64$. Esto nos dice que $n+8-a$ y $n+8+a$ son potencias de $2$ cuyo producto es $64$. Además, como $n+8-a\lt n+8+a$, las únicas posibilidades son las tres siguientes: \begin{align*} n+8-a&=1&y&& n+8+a&=64,\\ n+8-a&=2&y&& n+8+a&=32,\\ n+8-a&=4&y&& n+8+a&=16. \end{align*} Resolviendo el sistema lineal que se obtiene en cada uno de los tres casos (con incógnitas $a$ y $n$), llegamos a que $1$ y $64$ no dan ninguna solución entera, $2$ y $32$ dan $n=9$ y $4$ y $16$ dan $n=2$. Deducimos que $n=2$ y $n=9$ son las únicas soluciones.