Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El teorema de Euler-Fermat nos dice que $a^{\varphi(m)}\equiv 1(\ \text{mod }m)$ siempre que $\mathrm{mcd}(a,m)=1$. Podemos aplicar esto para $a=7$ y $m=1000$ (que claramente son primos entre sí), teniendo en cuenta que $\varphi(1000)=\varphi(2^3\cdot 5^3)=(2-1)2^2(5-1)5^2=400$. En otras palabras, tenemos que \[7^{2014}=(7^{400})^5\cdot 7^{14}\equiv 7^{14}\ (\text{mod }1000).\] Ahora podemos calcular $7^{14}$ módulo $1000$ haciendo unas pocas multiplicaciones y quedándonos con la últimas tres cifras (calcular $7^{14}$ completamente lleva un buen rato y podría llevar a más errores): \begin{align*} 7^2&\equiv 49\ (\text{mod }1000),&7^3&\equiv 49\cdot 7\equiv 343\ (\text{mod }1000),\\7^6&\equiv 343\cdot 343\equiv\ 649\ (\text{mod }1000),&7^{12}&\equiv 649\cdot 649\equiv\ 201\ (\text{mod }1000),\\ 7^{14}&\equiv 201\cdot 49\equiv\ 849(\text{mod }1000). \end{align*} Deducimos así que las últimas cifras son $849$.

Nota. La menor potencia $7^n$ que da resto $1$ módulo $1000$ es $n=20$ (un divisor de $\varphi(1000)=400$. Se puede encontrar después de probar un poco si nos damos cuenta de que $7^4\equiv 401\ (\text{mod }1000)$ y que, por consiguiente, potencias de la forma $7^{4k}$ tienen por últimos dígitos $01$. Esto evitaría tener que usar el teorema de Euler-Fermat.