Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que:

• $A\cup B$ es el conjunto de los enteros positivos.
• $A\cap B$ es el vacío.
• Si dos enteros positivos tienen como diferencia a un primo mayor que $2013$, entonces uno de ellos está en $A$ y el otro en $B$.

Hallar los posibles conjuntos $A$ y $B$ cumpliendo estas condiciones.

Sea $A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ con $n\gt 5$. Demostrar que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos distintos tal que $A\subseteq B$ tal que \[\prod_{x\in B}x=\sum_{x\in B}x^2,\] es decir, el producto de los elementos de $B$ es igual a la suma de los elementos de $B$.

Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c\in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$.

1. Demostrar que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2,\ldots,c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{kc_1, kc_2,\ldots,kc_n\}$ es canalero.
2. Demostrar que, para cualquier entero $n\geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.

¿Existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse en la forma \[a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11},\] para $a,b,c,d,e$ enteros positivos? Razonar la respuesta.

Dado un número entero $n$ escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el número entero $k$ restando del número formado por las tres últimas cifras de $n$ el numero formado por las cifras anteriores restantes. (por ejemplo, si $n=3486411$, entonces $k=411-3486=-3075$). Demostrar que $n$ es divisible por $7$, $11$ o $13$ si, y solo si, lo es $k$.