Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

¿Existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse en la forma \[a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11},\] para $a,b,c,d,e$ enteros positivos? Razonar la respuesta.

Dado un número entero $n$ escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el número entero $k$ restando del número formado por las tres últimas cifras de $n$ el numero formado por las cifras anteriores restantes. (por ejemplo, si $n=3486411$, entonces $k=411-3486=-3075$). Demostrar que $n$ es divisible por $7$, $11$ o $13$ si, y solo si, lo es $k$.

Demostrar que, para todo entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos.

Sean $a,b,c,d$ números enteros positivos tales que $a-b+c-d$ es impar y divide a $a^2-b^2+c^2-d^2$. Demostrar que $a-b+c-d$ divide a $a^n-b^n+c^n-d^n$ para todo entero positivo $n$.

Sea $n$ un entero positivo. Dado un conjunto $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ de enteros entre $0$ y $2n-1$ inclusive, a cada uno de sus $2^n$ subconjuntos se les asigna la suma de sus elementos (se considera que el subconjunto vacío tiene suma $0$) Si estas $2^n$ sumas dejan distintos residuos al dividirlas entre $2^n$, se dice que el conjunto $\{a_1, a_2,\ldots,a_n\}$ es $n$-completo. Determinar, para cada $n$, la cantidad de conjuntos $n$-completos.