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Un ejemplo de número positivo que cumple estas condiciones se tiene para $r=10$ y $s=2$, lo que nos da \[n=2^{10}-16^2=1024-256=768.\] Este es el número positivo más pequeño que se obtiene con $s=2$. Ahora bien, si $s\geq 5$ (que es el siguiente número congruente con $2$ módulo $3$), entonces para que $n=2^r-16^s=2^r-2^{4s}$ sea positivo, tiene que ser $r\geq 4s+1$, lo que nos da $n\geq 2^{4s+1}-2^{4s}=2^{4s}\geq 16^5\gt 768$. Deducimos por tanto que $n=768$ es el menor entero que cumple la condición del enunciado.
El problema habrá terminado si probamos que todo entero par se puede escribir de esta manera. Para que el denominador en $(\star)$ sea igual a $2$, tenemos que elegir $x=y=1$, luego $z=-2$. Esto nos da la igualdad $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{-2}=\frac{3}{2}$, que no es solución pero podemos dividir por $3$ ambos miembros para obtener $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{-6}=\frac{1}{2}$, luego $n=2$ es solución para $(x,y,z)=(3,3,-6)$. Obtenemos el resto de números pares $n=2k$ si tomamos $(x,y,z)=(3k,3k,-6k)$.
Deducimos así que la terna $(a,b,c)$ es $(1,1,1)$, $(1,1,2)$ o $(1,2,3)$.