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De la misma manera, se comprueba que $5555\equiv 4\ (\text{mod }7)$, luego $5555^{222}\equiv 4^{2222}\ (\text{mod }7)$. Tenemos que $4^1\equiv 4$, $4^2\equiv 2$ y $4^3\equiv 1$ módulo $7$, y hacemos la división euclídea de $2222$ entre $3$, que nos da $2222=740\cdot 3+2$. Por tanto, \[5555^{2222}\equiv 4^{2222}=(4^3)^{740}\cdot 4^2\equiv 1^{740}\cdot 2\equiv 2\ (\text{mod }7).\] Esto nos da finalmente el resultado deseado: \[2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\ (\text{mod }7).\]
Por ejemplo, el número $9$ se escribe exactamente de dos maneras distintas: $9=4+5$ y $9=2+3+4$.
Lo anterior se resume diciendo que tenemos una suma de enteros consecutivos igual a $n$ por cada divisor impar de $2n$ distinto del $1$ (aunque $2n$ fuera un cuadrado perfecto, $\sqrt{2n}$ no sería nunca un divisor impar, luego no daría problemas). Si descomponemos en factores primos \[n=2^ap_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},\] con $p_1,\ldots,p_r$ primos impares distintos, entonces $2n$ tiene exactamente $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)-1$ divisores impares distintos de $1$ (restamos $1$ por esto último). Por tanto, la condición que estamos buscando es que los exponentes de los primos impares verifiquen \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)=2008.\] Como $2008=2^3\cdot 251$ y $251$ es primo, tenemos pocas posibilidades para el menor número que verifica la condición del enunciado (ponemos los exponentes más grandes a los primos más pequeños):
Finalmente, descartamos también que el número sea un decimal exacto. Esto viene de que el denominador $n (n+1) (n+2)$ es múltiplo de $3$ (es el producto de tres enteros consecutivos) mientras que el numerador $3n^2+6n+2$ deja resto $2$ al dividirlo entre $3$. Un número decimal limitado se tiene que poder escribir como una fracción en la que el denominador sólo tiene factores $2$ o $5$, pero este argumento nos dice que en cualquier fracción que exprese a este número habrá un factor $3$ en el denominador.