Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que $n$ es suma de $k$ números consecutivos. Si llamamos $a\geq 1$ al menor de ellos, usando la conocida fórmula para la suma de los $k-1$ primeros naturales, tenemos que \begin{align*} n=a+(a+1)+\ldots+(a+k-1)&=ka+1+2+\ldots+(k-1)\\ &=ka+\frac{k(k-1)}{2}=k\left(a+\frac{k-1}{2}\right). \end{align*} Esto se puede expresar equivalentemente como \[2n=k(2a+k-1).\] Por tanto, $k$ y $2a+k-1$ deben ser divisores complementarios de $2n$ y además se cumple $2a+k-1\gt k$ ya que $a\geq 1$. Para cada divisor $d$ de $2n$ tal que $1\lt d\lt\sqrt{2n}$, tenemos una posible solución $k=d$ y $2a+k-1=\frac{2n}{d}$, o equivalentemente $2a=\frac{2n}{d}-d+1$. Esto nos da un valor de $a$ positivo, pero podría no ser entero. Si $d$ es impar, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par, luego no hay problema. Si $d$ es par, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par si y solo si $\frac{2n}{d}$ es impar, es decir, si $d$ es múltiplo de la mayor potencia de $2$ que divide a $n$. En otras palabras, si $\frac{2n}{d}$ es un divisor impar de $n$ (en este caso, la condición $1\lt d\lt\sqrt{2n}$ nos dice que $\sqrt{2n}\lt \frac{2n}{d}\lt 2n$).

Lo anterior se resume diciendo que tenemos una suma de enteros consecutivos igual a $n$ por cada divisor impar de $2n$ distinto del $1$ (aunque $2n$ fuera un cuadrado perfecto, $\sqrt{2n}$ no sería nunca un divisor impar, luego no daría problemas). Si descomponemos en factores primos \[n=2^ap_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},\] con $p_1,\ldots,p_r$ primos impares distintos, entonces $2n$ tiene exactamente $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)-1$ divisores impares distintos de $1$ (restamos $1$ por esto último). Por tanto, la condición que estamos buscando es que los exponentes de los primos impares verifiquen \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)=2008.\] Como $2008=2^3\cdot 251$ y $251$ es primo, tenemos pocas posibilidades para el menor número que verifica la condición del enunciado (ponemos los exponentes más grandes a los primos más pequeños):

• Si $r=1$ y $e_1=2007$, entonces tenemos $n=3^{2007}$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(1003,1)$, entonces $n=3^{1003}\cdot 5$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(501,3)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5^3$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(250,7)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(501,1,1)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5\cdot 7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(250,3,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^3\cdot 7$.
• Si $r=4$ y $(e_1,e_2,e_3,e_4)=(250,1,1,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

De todos estos números, el menor es $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

Solución. Podemos poner denominador común y escribir \[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}=\frac{3 n^2+6 n+2}{n (n+1) (n+2)}.\] Observamos que si $n$ es impar, entonces el numerador es impar y el denominador es par. Si $n=2k$ es par, entonces el denominador es múltiplo de $4$ ya que $n$ y $n+2$ son pares consecutivos, mientras que el numerador es igual a $2(6 k^2+6 k+1)$ y sólo tiene un factor $2$. Esto nos dice que en cualquier expresión como fracción del número $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}$ tendremos que el denominador es par. En particular, nunca se puede poner como una fracción en la que el denominador sea $999\cdots 9$ (como les pasa a todos los periódicos puros).

Finalmente, descartamos también que el número sea un decimal exacto. Esto viene de que el denominador $n (n+1) (n+2)$ es múltiplo de $3$ (es el producto de tres enteros consecutivos) mientras que el numerador $3n^2+6n+2$ deja resto $2$ al dividirlo entre $3$. Un número decimal limitado se tiene que poder escribir como una fracción en la que el denominador sólo tiene factores $2$ o $5$, pero este argumento nos dice que en cualquier fracción que exprese a este número habrá un factor $3$ en el denominador.

Solución. Si $p$ es un número primo distinto de $2$ y $5$, entonces es primo relativo con $10$, luego el teorema pequeño de Fermat nos asegura que $10^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod }p)$. En otras palabras, el número $10^{p-1}-1$, que se escribe solo con nueves, es múltiplo de $p$.

Solución. Sean $a,b,c$ las cifras de las centenas, decenas y unidades del número $n$, respectivamente. Por lo tanto, podemos escribir \[\left\{\ \begin{array}{l} n=100a+10b+c\\ m=100c+10b+a\\ S=a+b+c \end{array}\right.\] De esta forma, podemos escribir la condición que nos dan como \[0=n-2m-S=97a-11b-200c.\] Si miramos esta ecuación módulo $2$, $9$ y $11$, obtenemos \begin{align*} 0&=97a-11b-200c\equiv a-b\ (\text{mod }2),\\ 0&=97a-11b-200c\equiv 2(a+b+c)\ (\text{mod }9),\\ 0&=97a-11b-200c\equiv -2(a+c)\ (\text{mod }11).& \end{align*} Deducimos que $a$ y $b$ tienen la misma paridad, que $a+b+c$ es múltiplo de $9$ y que $a+c$ es múltiplo de $11$. Como $1\leq a\leq 9$ y $0\leq c\leq 9$, esta última condición nos dice que $a+c=11$ y tenemos solo 8 posibilidades para el par $(a,c)$. Por otro lado, $11+b=a+b+c\equiv 0\ (\text{mod }9)$, nos da necesariamente $b=7$, lo que nos dice que $a$ es impar. Hemos reducido los casos posibles a los siguientes:

• Si $(a,c)=(3,8)$, entonces $n=378$ y $97a-11b-200c=-1386$.
• Si $(a,c)=(5,6)$, entonces $n=576$ y $97a-11b-200c=-792$.
• Si $(a,c)=(7,4)$, entonces $n=774$ y $97a-11b-200c=-198$.
• Si $(a,c)=(9,2)$, entonces $n=972$ y $97a-11b-200c=396$.

En ninguno de los cuatro casos se obtiene $97a-11b-200c=0$, luego no existen números $n$ que cumplan la condición propuesta.