Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Un cuadrado perfecto no puede terminar en $2$, lo que reduce considerablemente el número de posibles terminaciones. Además, como es par, las dos últimas cifras de $n^2$ deben formar un múltiplo de $4$, luego estas solo pueden ser $04$, $20$, $24$ o $40$, de las cuales podemos descartar $20$ y $40$ (ya que $n^2$ sería múltiplo de $10$ pero no de $100$). De aquí, obtenemos que las cuatro últimas cifras de $n^2$ solo pueden ser $2204$, $0224$ o $2024$. Podemos descartar $2024$ ya que en tal caso $n^2$ es múltiplo de $8$ pero no de $16$. También podemos descartar también $2204$, porque entonces $\frac{n^2}{4}$ sería un cuadrado que terminaría en $51$ luego la cifra de las unidades de $n$ sería $1$ o $9$. Sin embargo, $(10a+9)^2$ y $(10a+9)^2$ tienen la cifra de las decenas par para todo $a$ y esto nos dice que no hay cuadrados que terminen en $51$.

Para ver qué ocurre con $0224$, pongamos $n=100a+10b+c$, con $0\leq a,b,c\leq 9$ respectivamente. Podemos hacer la multiplicación siguiente: \[\begin{array}{ccccc} &&a&b&c\\ &\times&a&b&c\\\hline &&ac&bc&c^2\\ &ab&b^2&bc&\\ a^2&ab&ac&&\\\hline a^2&2ab&b^2\!+\!2ac&2bc&c^2 \end{array}\] y ahora ir cuadrando las cifras desde las unidades a las centenas. Esto es bastante rutinario, pero hay que tener cuidado de tener en cuenta las llevadas (no se han escrito en la multiplicación anterior ya que dependen de los valores concretos de $a,b,c$). En las unidades tenemos que $c^2\equiv 4\ (\text{mód } 10)$, con soluciones $c=2$ y $c=8$.

• Si $c=2$, entonces en las decenas tenemos que $6b\equiv 2\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $b=3$ y $b=8$. Para que $10b+c$ sea múltiplo de $4$, tiene que ser $b=3$, luego las centenas cuadran cuando $4a\equiv 2\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $a=3$ y $a=8$. Tenemos que $332^2=110224$ sí cumple la condición pero $832^2=692224$ no.
• Si $c=8$, entonces $6b\equiv 6\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $b=1$ y $b=6$. Para que $10b+c$ sea múltiplo de $4$, tiene que ser $b=6$. Cuandrando las centenas, tenemos que $6a\equiv 6\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $a=1$ y $a=6$. Sin embargo, las unidades de millar de $168^2=28224$ ni $668^2=446224$ no cuadran.

Hemos probado así que $n=332$ es la única solución al problema.

Solución. Hay que tener en cuenta que si una de las cifras del número es par es porque hay una llevada de la suma de las cifras de orden inmediatamente inferior. Vamos a analizar cada caso por separado:

• 6204773 es bonito (por ejemplo, tomando $s=3557931$ y $t=2646842$).
• 6372538 no es bonito puesto que la cifra de las unidades es par y no puede obtenerse como suma de un dígito par y otro impar (no hay llevadas).
• 7343053 no es bonito ya que después del cero de las centenas hay necesariamente una llevada, luego la siguiente cifra no puede ser impar y en este caso es un tres.
• 8993267 no es bonito ya que el 8 en las unidades de millón implica una llevada y por tanto las cifras de $t$ y $s$ en las centenas de millar deben sumar 19, lo que implica que ambas son 9 (más otra llevada de las decenas de millar). Esto impide que las cifras de $s$ sean todas pares.
• 9652393 es bonito (tomando $t=5371751$ y $s=4280642$).

Solución. Si escribimos $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=n$, como $x$ e $y$ son enteros, existirá un divisor $d$ de $n$ tal que $x+y=d$ y $x-y=\frac{n}{d}$. Este sistema de ecuaciones con la suma y la diferencia se resuelve fácilmente dando lugar a \[x=\frac{d+\frac{n}{d}}{2},\qquad y=\frac{d-\frac{n}{d}}{2}.\] Obtenemos así que no vale cualquier divisor de $n$ sino que $d$ y $\frac{n}{d}$ deben tener la misma paridad (en caso contrario, el denominador $2$ en las soluciones anteriores no se puede eliminar) y además $d\gt\frac{n}{d}$ (en caso contrario tendríamos una solución con $y$ negativa). Llamemos $D(n)$ al número de divisores de $n$ y distingamos varios casos:

• Si $n$ es impar, entonces $d$ y $\frac{n}{d}$ son ambos impares. Si $n$ no es cuadrado perfecto, entonces la condición $d\lt\frac{n}{d}$ ocurrirá para la mitad de divisores, luego $\lambda(n)=\frac{1}{2}D(n)$. Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces hay que excluir el caso $d=\sqrt{n}$ antes de dejar la mitad de divisores, luego $\lambda(n)=\frac{1}{2}(D(n)-1)$.
• Si $n$ es par pero no múltiplo de $4$, entonces $d$ y $\frac{n}{d}$ tienen necesariamente distinta paridad, luego $\lambda(n)=0$.
• Si $n$ es múltiplo de $4$, entonces podemos asignar previamente uno de los factores $2$ a $d$ y otro a $\frac{n}{d}$ para que los dos sean pares y repartir los restantes entre $d$ y $\frac{n}{d}$. Razonando de forma análoga al primer caso, tenemos que $\lambda(n)=\frac{1}{2}D(\frac{n}{4})$ si $n$ es no es cuadrado perfecto y $\lambda(n)=\frac{1}{2}(D(\frac{n}{4})-1)$ si lo es.

Si factorizamos $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ como producto de potencias de primos distintos, es bien conocido que $D(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$. Vamos a ver cuál es el menor valor de $n$ en cada uno de los cuatro casos que nos da la discusión anterior y luego analizaremos cuál es el menor y el menor impar.

• Si $n$ es impar y no es cuadrado, tenemos que resolver $D(n)=2\cdot 2021=2\cdot 43\cdot 47$, luego el menor valor posible es $n=3^{46}5^{42}7$ ya que $3,5,7$ son los primos más pequeños (impares) emparejados con los exponentes en orden opuesto.
• Si $n$ es impar y cuadrado, tenemos que resolver $D(n)=2\cdot 2021+1=4043=13\cdot 311$, luego el menor valor es $n=3^{310}5^{12}$.
• Si $n$ es par (múltiplo de $4$) y no es cuadrado, tenemos $D(\frac{n}{4})=2\cdot 2021=2\cdot 43\cdot 47$, luego el menor valor posible es $n=4\cdot 2^{46}3^{42}5=2^{48}3^{42}5$.
• Si $n$ es par (múltiplo de $4$) y cuadrado, tenemos $D(\frac{n}{4})=2\cdot 2021+1=4043=13\cdot 311$, luego el menor valor posible es $n=4\cdot 2^{310}3^{12}=2^{312}3^{12}$.

De entre los cuatro números elegidos, el menor es $2^{48}3^{42}5$ y el menor impar es $3^{46}5^{42}7$ (¿sabrías justificar rigurosamente por qué?).

Nota. Un punto técnico de esta solución es la factorización de 4043. No debería haber problema en preguntar a los examinadores por tal factorización; en caso de no darla, habría que probar a dividir $4043$ entre los primos desde $3$ a $61$ (que es el más cercano por defecto a $\sqrt{4043}$). Al encontrar así el factor $13$, habría que probar de nuevo desde $3$ a $17$ (que es el más cercano por defecto a $\sqrt{313}$).

Solución. Supongamos que $n\equiv 2\ (\text{mod }3)$ y $d$ es un divisor suyo. Como $d$ no puede ser múltiplo de $3$ (en tal caso, $n$ también lo sería), llegamos a que $d\equiv 1\ (\text{mod }3)$ o bien $d\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Su divisor complementario $\frac{n}{d}$ tiene que cumplir $\frac{n}{d}\equiv 2\ (\text{mod }3)$ o bien $\frac{n}{d}\equiv 1\ (\text{mod }3)$, respectivamente, para que $d\cdot\frac{n}{d}=n\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Por tanto, tenemos que $d+\frac{n}{2}\equiv 1+2\equiv 0\ (\text{mod }3)$.

De esta manera, en la suma de divisores, tras agrupar cada divisor con su complementario, tendremos una suma de múltiplos de $3$ y hemos resuelto el problema. Sin embargo, queda por ver que todos los divisores están emparejados, lo cual es cierto a no ser que $n$ sea un cuadrado perfecto (en cuyo caso $d=\sqrt{n}$ coincide con su complementario $\frac{n}{d}=\sqrt{n}$). Como todo cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $3$, este caso no se da nunca.

Solución. Pongamos que el polígono tiene $n$ lados y escribamos sus ángulos internos como $a,a+d,\ldots,a+(n-1)d$, siendo $d$ la diferencia de la progresión aritmética. Como la suma de los ángulos internos de un $n$-gono es $180(n-2)$ (ya que se puede triangularse en $n-2$ triángulos), deducimos que \[180(n-2)=a+(a+d)+\ldots+(a+(n-1)d)=na+\frac{n(n-1)}{2}d.\] Por tanto, tenemos que resolver la ecuación diofántica \[360(n-2)=2na+n(n-1)d\ \Leftrightarrow\ (360-2a-(n-1)d)n=720.\] Esto acota los valores de $n$ a los divisores de $720$ (mayores o iguales que $3$). Además, para que el polígono sea convexo, sus ángulos tienen que ser menores que $180$, lo que nos dice que el mayor ha de serlo, es decir, $a\lt 180-(n+1)d$. Sustituyendo en la ecuación diofántica, la convexidad se traduce en que $720=(360-2a-(n-1)d)n\gt n(n-1)d\geq n(n-1)$, donde hemos usado que $d\geq 1$ porque nos dicen que no todos los ángulos son iguales. Esto último se traduce en que $3\leq n\leq 27$.

La idea ahora es que, para cada divisor $3\leq n\leq 27$, estudiaremos si existe un par de enteros positivos $(a,d)$ verificando la ecuación diofántica lineal $2a+(n-1)d=360+\frac{720}{n}$. Distinguimos dos casos:

• Si $n=2k$ es par, entonces $\mathrm{mcd}(2,n-1)=1$, luego la ecuación tiene soluciones enteras (no sabemos aún si positivas). De hecho, podemos expresar $1=2k-(2k-1)$, luego tenemos una solución particular de la ecuación dada por $a_0=k(360+\frac{720}{n})=180n+360$ y $d_0=-360-\frac{720}{n}$. Todas las soluciones serán, en términos de un parámetro entero $j$, \[a=180n+360-(n-1)j,\qquad d=-360-\frac{720}{n}+2j.\] Para que ambos sean positivos, tendremos que $180n+360-(n-1)j\gt 0$ y $-360-\frac{720}{n}+2j\gt 0$, lo que nos da la acotación \[180\frac{n+2}{n}\lt j\lt 180\frac{n+2}{n-1},\] que también se puede escribir como \[180+\frac{360}{n}\lt j\lt 180+\frac{540}{n-1}.\] Una condición suficiente para que haya una solución entera $j$ es si aseguramos que $\frac{540}{n-1}\gt\frac{360}{n}+1$, que equivale a $360 + 181 n - n^2\geq 0$. Esta última desigualdad se cumple siempre para $3\leq n\leq 27$.