Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos por $M$, $N$ y $P$ los puntos medios de $AC$, $DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demostrar que las rectas $O_AO_B$ y $MN$ son paralelas.
Solución. Las mediatriz de $AC$ pasa por $O_A$ y por el centro $O$ de la semicircunferencia y, de la misma forma, la mediatriz de $BD$ pasa por $O_B$ y por $O$. Por tanto, que $O_AO_B$ sea paralela a $MN$ equivale a que los triángulos $OO_AO_B$ y $OMN$ sean semejantes. Si trazamos perpendiculares a la recta $CD$ que pasan por $A$, $M$, $O_A$, $O_B$, $N$ y $B$ (en línea discontinua en la figura) y marcamos los puntos de intersección con $CD$ como $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ y $J$, respectivamente, el teorema de Thales nos dice que
\[\frac{OO_A}{GP}=\frac{OM}{PF},\qquad \frac{OO_B}{HP}=\frac{ON}{PI}.\]
Utilizando que $G$ y $H$ son los puntos medios de $CP$ y $DP$ (ya que las perpendiculares por $O_A$ y $O_B$ son mediatrices de $CP$ y $DP$, respectivamente), las semejanzas anteriores se reescriben como
\[\frac{OO_A}{OM}=\frac{CP}{2PF},\qquad \frac{OO_B}{ON}=\frac{DP}{2PI}.\]
Como $CP=DP$ por ser $P$ el punto medio de $CD$, el problema estará resuelto si demostramso que $PF=PI$. Usando de nuevo que $CP=DP$, podemos reducir el problema aún más a probar que $PE=PJ$, pero esto último es sencillo ya que es consecuencia del teorema de Thales aplicado a las paralelas $BJ$, $OP$ y $AE$ que cortan a las rectas $AB$ y $AJ$, teniendo en cuenta que $O$ es el punto medio de $AB$.