Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en los puntos $X$, $Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ cortan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, demostrar que el triángulo $ABC$ es isósceles.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud $1$ cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

1. Dado cualquier número $k$ mayor que $0$ y menor que $1$, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
2. Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que $\frac{3}{2}$.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$ más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ es el punto diametralmente opuesto a $B$ y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M,D,C$ están alineados.

Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión de puntos $\{C_1,C_2,\ldots,C_n,\ldots\}$ como $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$. Determinar todos los puntos $C$ tales que la sucesión está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.

Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considérense dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.

1. Probar que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca tanto a $C_1$ como a $C_2$
2. Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.